chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-2-7-32cheb-1957Research ArticleСтатьиArticleТопология слоений Лиувилля трехмерных биллиардов с проскальзываниемThe topology of Liouville foliations of three-dimensional billiards with slippingБелозеровГлеб ВладимировичBelozerovGleb Vladimirovich

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

gleb0511beloz@yandex.ruЗавьяловВладимир НиколаевичZavyalovVladimir Nikolaevich

аспирант

postgraduate student

vnzavyalov@mail.ruLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана; Московский центр Фундаментальной и прикладной математикиРоссияLomonosov Moscow State University; Bauman Moscow State Technical University; Moscow Center for Fundamental and Applied MathematicsRussian Federation202510072025262732Copyright © Белозеров Г.В., Завьялов В.Н., 20252025Белозеров Г.В., Завьялов В.Н.Belozerov G.V., Zavyalov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1957

Рассматриваются биллиарды в трехмерных областях, ограниченных софокусными квадриками, с проскальзыванием на границе. Такие динамические системы являются интегрируемыми по Лиувиллю в кусочно-гладком смысле. В случае двумерных столов классбиллиардов с проскальзыванием был введен А.Т. Фоменко. Для нескольких типов софокусных биллиардов с проскальзыванием определены классы гомеоморфности поверхностей постоянной энергии, построены бифуркационные диаграммы, описана топология слоения Лиувилля малых окрестностей особых и неособых слоев.

Billiards in three-dimensional confocal domains with slipping along the boundary are considered. Such dynamical systems are Liouville integrable in piecewise-smooth sense. In twodimensional case, class of billiards with slipping was introduced by A.T.Fomenko. For several types of confocal billiards with slipping the classes of homeomorphism of constant energy surfaces are found, the bifurcation diagrams are constructed and the topology of Liouville foliation in small neighborhoods of singular and non-singular fibers is described.

интегрируемая системабиллиардинтегрирумый биллиардслоение Лиувиллябифуркационная диаграммапроскальзывание.integrable systembilliardintegrable billiardLiouville foliationbifurcation diagramslipping.Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда 22-71-00111 в МГУ имени М. В. Ломоносова. Г. В. Белозеров и В. Н. Завьялов являются стипендиатами фонда БАЗИС.ReferencesБиркгоф Дж.Д. Динамические системы. Ижевск: Удмуртский университет, 1999. 408 с.Birkhoff, G.D., 1927, Dynamical Systems, Providence: American Mathematical Society, 295 p. (Colloquium Publications; vol. 9).Козлов В.В., Трещев Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991. 240 с.Kozlov, V.V., Treshchev, D.V., 1991, A Genetic Introduction to the Dynamics of Systems with Impacts, Providence: American Mathematical Society, 171 p. (Translations of Mathematical Monographs; vol. 89).Dragovi´c V., Radnovi´c M. Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards // Regul. Chaotic Dyn. 2009. Vol. 14, no. 4-5. P. 479-494.Dragovi´c, V., Radnovi´c, M., 2009, “Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards”, Regular and Chaotic Dynamics, vol. 14, no. 4-5, pp. 479-494.Драгович В., Раднович М. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные призмы Понселе. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2010. 338 с.Dragovi´c, V., Radnovi´c, M., 2010, Integrable Billiards, Quadrics and Multidimensional Poncelet Porisms, Moscow-Izhevsk: Regular and Chaotic Dynamics, 338 p. [in Russian].Фокичева В.В. Описание особенностей системы "биллиард в эллипсе"// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2012. № 5. С. 31-34.Fokicheva, V.V., 2014, “Description of singularities for billiard systems bounded by confocal ellipses or hyperbolas”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 69, no. 4, pp. 148-158.Фокичева В.В. Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2014. № 4. С. 18-27.Fokicheva, V.V., 2014, “Classification of billiard motions in domains bounded by confocal parabolas”, Sbornik: Mathematics, vol. 205, no. 8, pp. 1201-1221.Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 10. С. 127-176.Fokicheva, V.V., 2015, “A topological classification of billiards in locally planar domains bounded by arcs of confocal quadrics”, Sbornik: Mathematics, vol. 206, no. 10, pp. 1463-1507.Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т., Харчева И.С. Моделирование невырожденных бифуркаций замыканий решений интегрируемых систем с двумя степенями свободы интегрируемыми топологическими биллиардами // Докл. РАН. 2018. Т. 479, № 6. С. 607-610.Vedyushkina, V.V., Fomenko, A.T., Kharcheva, I.S., 2018, “Modeling nondegenerate bifurcations of closures of solutions for integrable systems with two degrees of freedom by integrable topological billiards”, Doklady Mathematics, vol. 97, no. 2, pp. 174-176.Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. Т. 209, № 12. С. 17-56.Vedyushkina, V.V., Kharcheva, I.S., 2018, “Billiard books model all three-dimensional bifurcations of integrable Hamiltonian systems”, Sbornik: Mathematics, vol. 209, no. 12, pp. 1690-1727.Ведюшкина В.В. Интегрируемые биллиарды реализуют торические слоения на линзовых пространствах и 3-торе // Матем. сб. 2020. Т. 211, № 2. С. 46-73.Vedyushkina, V.V., 2020, “Integrable billiard systems realize toric foliations on lens spaces and the 3-torus”, Sbornik: Mathematics, vol. 211, no. 2, pp. 201-225.Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях и топологические биллиарды // Изв. РАН. Сер. матем. 2019. Т. 83, № 6. С. 63-103.Vedyushkina, V.V., Fomenko, A.T., 2019, “Integrable geodesic flows on orientable twodimensional surfaces and topological billiards”, Izvestiya: Mathematics, vol. 83, no. 6, pp. 1137-1173.Fomenko A.T., Vedyushkina V.V., Zav’yalov V.N. Liouville foliations of topological billiards with slipping // Russ. J. Math. Phys. 2021. Vol. 28, no. 1. P. 37-55.Fomenko, A.T., Vedyushkina, V.V., Zavyalov, V.N., 2021, “Liouville foliations of topological billiards with slipping”, Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 28, no. 1, pp. 37-55.Ведюшкина В.В., Завьялов В.Н. Реализация геодезических потоков с линейным интегралом биллиардами с проскальзыванием // Матем. сб. 2022. Т. 213, № 12. С. 31-52.Vedyushkina, V.V., Zavyalov, V.N., 2022, “Realization of geodesic flows with a linear first integral by billiards with slipping”, Sbornik: Mathematics, vol. 213, no. 12, pp. 1645-1664.Завьялов В.Н. Биллиард с проскальзыванием на любой рациональный угол // Матем. сб. 2023. Т. 214, № 9. С. 3-26.Zavyalov, V.N., 2023, “Billiard with slipping by an arbitrary rational angle”, Sbornik: Mathematics, vol. 214, no. 9, pp. 1191-1211.Харчева И.С. Изоэнергетические многообразия интегрируемых бильярдных книжек // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2020. № 4. С. 12-22.Kharcheva, I.S., 2020, “Isoenergetic manifolds of integrable billiard books”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 75, no. 4, pp. 149-160.Фоменко А.Т., Ведюшкина В.В. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2019. № 3. С. 15-25.Fomenko, A.T., Vedyushkina, V.V., 2019, “Billiards and integrability in geometry and physics. New scope and new potential”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 74, no. 3, pp. 98-107.Ведюшкина В.В., Кибкало В.А., Фоменко А.Т. Топологическое моделирование интегрируемых систем биллиардами: реализация числовых инвариантов // Докл. РАН. Матем., информ., процессы упр. 2020. Т. 493, № 1. С. 9-12.Vedyushkina, V.V., Kibkalo, V.A., Fomenko, A.T., 2020, “Topological modeling of integrable systems by billiards: realization of numerical invariants”, Doklady Mathematics, vol. 102, no. 1, pp. 269-271.Кибкало В.А., Фоменко А.Т., Харчева И.С. Реализация интегрируемых гамильтоновых систем бильярдными книжками // Тр. ММО. 2021. Т. 82, № 1. С. 45-78.Kibkalo, V.A., Fomenko, A.T., Kharcheva, I.S., 2021, “Realizing integrable Hamiltonian systems by means of billiard books”, Transactions of the Moscow Mathematical Society, vol. 82, pp. 37-64.Ведюшкина В.В. Локальное моделирование бильярдами слоений Лиувилля: реализация реберных инвариантов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2021. № 2. С. 28-32.Vedyushkina, V.V., 2021, “Local modeling of Liouville foliations by billiards: implementation of edge invariants”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 76, no. 2, pp. 60-64.Ведюшкина В.В., Кибкало В.А. Реализация бильярдами числового инварианта расслоения Зейферта интегрируемых систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2020. № 4. С. 22-28.Vedyushkina, V.V., Kibkalo, V.A., 2020, “Realization of the numerical invariant of the Seifert fibration of integrable systems by billiards”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 75, no. 4, pp. 161-168.Кузнецова А.А. Моделирование вырожденных особенностей интегрируемых бильярдных систем бильярдными книжками // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2023. № 5. С. 3-10.Kuznetsova, A.A., 2023, “Modeling the Degenerate Singularities of Integrable Billiard Systems by Billiard Books”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 78, no. 5, pp. 207-215.Белозеров Г.В. Топологическая классификация биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве, ограниченных софокусными квадриками // Матем. сб. 2022. Т. 213, № 2. С. 3-36.Belozerov, G.V., 2022, “Topological classification of billiards bounded by confocal quadrics in three-dimensional Euclidean space”, Sbornik: Mathematics, vol. 213, no. 2, pp. 129-160.Якоби К. Лекции по динамике. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 272 с.Jacobi, K., 1936, Lectures on Dynamics, Moscow: Gostekhizdat [in Russian].Белозеров Г.В. Топология изоэнергетических 5-поверхностей трехмерного бильярда внутри трехосного эллипсоида с потенциалом Гука // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2022. № 6. С. 21-31.Belozerov, G.V., 2022, “Topology of 5-surfaces of a 3D billiard inside a triaxial ellipsoid with Hooke’s potential”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 77, no. 6, pp. 277-289.Lazutkin V. KAM theory and semiclassical approximations to eigenfunctions. Berlin: Springer, 1993. 387 p.Lazutkin, V., 1993, KAM Theory and Semiclassical Approximations to Eigenfunctions, Berlin: Springer, 387 p.Кудрявцева Е.А. Интегрируемые по Лиувиллю обобщённые биллиардные потоки и теоремы типа Понселе // Фундамент. и прикл. матем. 2015. Т. 20, № 3. С. 113-152.Kudryavtseva, E.A., 2017, “Liouville integrable generalized billiard flows and Poncelet type theorems”, Journal of Mathematical Sciences, vol. 225, no. 4, pp. 611-638.Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация: В 2 т. Ижевск: Удмуртский университет, 1999. Т. 1. 444 с.; Т. 2. 448 с.Bolsinov, A.V., Fomenko, A.T., 2004, Integrable Hamiltonian Systems: Geometry, Topology, Classification, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 730 p.Nguen T.Z. Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, I: Arnold–Liouville with singularities // Compositio Math. 1996. Vol. 101. P. 179-215.Nguyen, T.Z., 1996, “Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, I: Arnold-Liouville with singularities”, Compositio Mathematica, vol. 101, pp. 179-215.Fomenko A.T., Kibkalo V.A. Saddle singularities in integrable Hamiltonian systems: examples and algorithms // Contemporary approaches and methods in fundamental mathematics and mechanics. Cham: Springer, 2021. P. 3-26. (Underst. Complex Syst.).Fomenko, A.T., Kibkalo, V.A., 2021, “Saddle singularities in integrable Hamiltonian systems: examples and algorithms”, in Contemporary Approaches and Methods in Fundamental Mathematics and Mechanics, Cham: Springer, pp. 3-26.Ведюшкина В.В., Кибкало В.А., Пустовойтов С.Е. Реализация фокусных особенностей интегрируемых систем биллиардными книжками с потенциалом Гука // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, № 5. С. 44-57.Vedyushkina, V.V., Kibkalo, V.A., Pustovoitov, S.E., 2021, “Realization of focal singularities of integrable systems using billiard books with a Hooke potential field”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 22, no. 5, pp. 44-57.Кобцев И.Ф. Эллиптический биллиард в поле потенциальных сил: классификация движений, топологический анализ // Матем. сб. 2020. Т. 211, № 7. С. 93-120.Kobtsev, I.F., 2020, “An elliptic billiard in a potential force field: classification of motions, topological analysis”, Sbornik: Mathematics, vol. 211, no. 7, pp. 987-1013.Болсинов А.В., Рихтер П.Х., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. Т. 191, № 2. С. 3-42.Bolsinov, A.V., Richter, P.H., Fomenko, A.T., 2000, “The method of loop molecules and the topology of the Kovalevskaya top”, Sbornik: Mathematics, vol. 191, no. 2, pp. 151-188.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.