chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-1-190-203cheb-1944Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceДифракция цилиндрической звуковой волны на многослойном сфероидеDiffraction of a cylindrical sound wave on a multilayered spheroidТолоконниковЛев АлексеевичTolokonnikovLev Alexeevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

TolokonnikovLA@mail.ruТолоконниковСергей ЛьвовичTolokonnikovSergei Lvovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

tolsl@mail.ruТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202522062025261190203Copyright © Толоконников Л.А., Толоконников С.Л., 20252025Толоконников Л.А., Толоконников С.Л.Tolokonnikov L.A., Tolokonnikov S.L.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1944

В статье рассматривается задача о дифракции гармонической цилиндрической звуковой волны на многослойном сфероиде, состоящем из абсолютно жесткого сфероида и окружающих его однородных сфероидальных слоев идеальной сжимаемой жидкости. Полагается, что сфероид находится в безграничной идеальной жидкости. Цилиндрическая волна излучается бесконечно длинным линейным источником, параллельным оси вращения сфероида.Задача решается в вытянутой сфероидальной системе координат. Получено аналитическое решение задачи. Рассмотрен частный случай двухслойного сфероида.

The article considers the problem of diffraction of a harmonic cylindrical sound wave on a multilayered spheroid is considered. The multilayered spheroid consist from an absolutely rigid spheroid and surrounding homogeneous spheroidal layers of an ideal compressible liquid. It is assumed that the spheroid is in an infinite ideal liquid. A cylindrical wave is emitted by an infinitely long linear source parallel to the axis of rotation of the spheroid.The problem is solved in an elongated spheroidal coordinate system. An analytical solution of the problem has been obtained. A special case of a two-layer spheroid is considered.

дифракциязвуковые волныцилиндрическая волнамногослойный сфероидидеальная жидкость.diffractionsound wavescylindrical wavemultilayered spheroidideal fluid.ReferencesSpence R.D., Granger S. The scattering sound from a prolate spheroid // Acoust. Soc. Amer.Spence, R. D., Granger, S. 1951, “The scattering sound from a prolate spheroid”, Acoust. Soc.Vol. 23. No. 6. P. 701 – 706.Amer., vol. 23, no. 6, pp. 701 – 706.Einspruch N.G., Barlow C.A. Scattering of a compressional wave by a prolate spheroid //Einspruch, N. G., Barlow, C. A. 1961, “Scattering of a compressional wave by a prolate spheroid”,Quart. J. Appl. Math. 1961. Vol. 19. No. 3. P. 253 – 258.Quart. J. Appl. Math., vol. 19. no. 3, pp. 253 – 258.Senior T.B.A. The scattering from acoustically hard and soft prolate spheroids for axialSenior, T. B. A. 1966, “The scattering from acoustically hard and soft prolate spheroids for axialincidence // Can. J. Phys. 1966. Vol. 44. No. 3. P. 657 – 667.incidence”, Can. J. Phys., vol. 44, no. 3, pp. 657 – 667.Клещев A.A., Шейба Л.C. Рассеяние звуковой волны идеальными вытянутыми сфероида-Kleshchev, A. A., Sheiba, L. S. 1970, “Scattering of a sound wave by ideal prolate spheroids”,ми // Акуст. журн. 1970. Т. 16. № 2. С. 264 – 268.Soviet Phys. Acoust., vol. 16, no. 2, pp. 219 – 222.Андебура В.А., Осташевский А.Л. Рассеяние звука жесткими вытянутыми сфероидами //Andebura, V. A., Ostashevskii, A.P. 1974, “Scattering of sound hy rigid prolate spheroids”,Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 2. С. 179 – 183.Akust. Zhurn., vol. 20, no. 2, pp. 179 – 183, [in Russian].Varadan V.K., Varadan V.V., Dragonette L.R., Flax L. Computation of rigid body scatteringVaradan, V. K., Varadan, V. V., Dragonette, L. R., Flax L. 1982, “Computation of rigid bodyby prolate spheroids using the T-matrix approach. // J. Acoust. Soc. Amer. 1982. Vol. 71.scattering by prolate spheroids using the T-matrix approach”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 71,No. 1. P. 22 – 25.no. 1, pp. 22 – 25.Barton J.P., Wolf N.L., Zhang Н., Tarawneh С. Near-field calculations for a rigid spheroidBarton, J.P., Wolf, N. L., Zhang, Н., Tarawneh, С. 2003, “Near-field calculations for a rigidwith an arbitrary incident acoustic field // J. Acoust. Soc. Amer. 2003. Vol. 113. No. 3. P.spheroid with an arbitrary incident acoustic field”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 113. no. 3,– 1222.pp. 1216 – 1222.Роумелиотис Дж. А., Котсис А. Д., Колезас Дж. Рассеяние звука на непроницаемом сфе-Roumeliotis, J. A., Kotsis, A. D., Kolezas G. 2007, “Acoustic Scattering by an Impenetrableроиде // Акуст. журн. 2007. Т. 53. № 4. С. 500 – 513.Spheroid”, Akust. Zhurn., vol. 53, no. 4, pp. 500 – 513, [in Russian].Senior T.B.A. Scalar diffraction by a prolate spheroid at low frecuencies // Can. J. Phys. 1960.Senior, T. B. A. 1960, “Scalar diffraction by a prolate spheroid at low frecuencies”, Can. J. Phys.Vol. 38. No. 12. P. 1632 – 1641.vol. 38, no. 12, pp. 1632 – 1641.Burke J. E. Low-frequency scattering by soft spheroids // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. Vol. 39.Burke, J. E. 1966, “Low-frequency scattering by soft spheroids”, J. Acoust. Soc. Amer. vol. 39,No. 5. P. 826 – 831.no. 5, pp. 826 – 831.Burke J. E. Long-wavelength scattering by hard spheroids // J. Acoust. Soc. Amer. 1966.Burke, J. E. 1966, “Long-wavelength scattering by hard spheroids”, J. Acoust. Soc. Amer.,Vol. 40. No. 2. P. 325 – 330.vol. 40, no. 2, pp. 325 – 330.Asvestas J.S., Kleinman R.E. Low frequency scattering by spheroids and disks. 1. DirichleetAsvestas, J. S., Kleinman, R. E. 1969, “Low frequency scattering by spheroids and disks. 1.problem for a prolate spheroid // J. Inst. Math. Appl. 1969. Vol. 6. No. 1. P. 42 – 56.Dirichleet problem for a prolate spheroid”, J. Inst. Math. Appl., vol. 6, no. 1, pp. 42 – 56.Asvestas J.S., Kleinman R.E. Low frequency scattering by spheroids and disks. 2. NeumannAsvestas, J. S., Kleinman, R. E. 1969, “Low frequency scattering by spheroids and disks. 2.problem for a prolate spheroid // J. Inst. Maths. Appl. 1969. Vol. 6. No. 1. P. 57 – 75.Neumann problem for a prolate spheroid”, J. Inst. Maths. Appl., vol. 6, no. 1, pp. 57 – 75.Гаткин Н.Г., Парамонова С.Н., Пьянов В.М. Рассеяние звука жесткими вытянутыми сфе-Gatkin, N. G., Paramonova, S. N., P’yanov, V. M. 1971, “Scattering of sound by rigid prolateроидами // Акуст. журн. 1971. Т. 17. № 3. С. 371 —- 378.spheroids”, Akust. Zhurn., vol. 17, no. 3, pp. 371 – 378, [in Russian].Sammelmann G.S., Trivett D.H., Hackmann R.H. High-frequency scattering from rigid prolateSammelmann, G. S., Trivett, D. H., Hackmann, R. H. 1988, “High-frequency scattering fromspheroids // J. Acoust. Soc. Amer. 1988. Vol. 83. No. 1. P. 46 – 54.rigid prolate spheroids”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 83, no. 1, pp. 46 – 54.Lauchle G.C. Short-wavelength acoustic diffraction by prolate spheroids // J. Acoust. Soc.Lauchle, G. C. 1975, “Short-wavelength acoustic diffraction by prolate spheroids”, J. Acoust.Amer. 1975. Vol. 58. No. 3. P. 568 – 575.Soc. Amer., vol. 58, no. 3, pp. 568 – 575.Lauchle G.C. Short-wavelength acoustic backscattering by a prolate spheroid // J. Acoust. Soc.Lauchle, G. C. 1975, “Short-wavelength acoustic backscattering by a prolate spheroid”,Amer. 1975. Vol. 58. No. 3. P. 576 – 580.J. Acoust. Soc. Amer., vol. 58, no. 3, pp. 576 – 580.Толоконников Л.А. Рассеяние цилиндрических звуковых волн на сфероиде // ПрикладнаяTolokonnikov, L. A. 1975, “Scattering of cylindrical sound waves on a spheroid”, Appliedматематика. 1975. Вып. 3. С. 3 – 9. Тула: Изд-во Тульск. политехн. ин-та.Mathematics, no. 3, pp. 3 – 9, Tula Politech. Inst., Tula, [in Russian].Клещев A.A. Рассеиватель в поле точечного источника // Акуст. журн. 1973. Т. 19. № 3.Kleshev, A. A. 1973, “Scatterer in the field of a point source”, Akust. Zhurn., vol. 19, no. 3,С. 455 – 457.pp. 455 – 457, [in Russian].Blake W.K., Wilson G.A. Short-wavelength diffracted surface pressures on a rigid prolateBlake, W. K., Wilson, G. A. 1977, “Short-wavelength diffracted surface pressures on a rigidspheroid // J. Acoust. Soc. Amer. 1977. Vol. 61. No. 6. P. 1419 – 1426.prolate spheroid”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 61, no. 6, pp. 1419 – 1426.German A., Lauchle G.C. Axisymmetric scattering of spherical waves by a prolate spheroid //German A., Lauchle, G. C. 1979, “Axisymmetric scattering of spherical waves by a prolateJ. Acoust. Soc. Amer. 1979. Vol. 65. No. 5. P. 1322 – 1327.spheroid”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 65, no. 5, pp. 1322 – 1327.Клещев А.А. Дифракции звука на телах со смешанными граничными условиями // Акуст.Kleshchev, A. A. 1974, “Diffraction of sound on bodies with mixed boundary conditions”, Akust.журн. 1974. Т. 20. № 4. С. 632 – 634.Zhurn., vol. 20, no. 4, pp. 632 – 634, [in Russian].Толоконников Л.А. Рассеяние звука на сфероиде со смешанными граничными условия-Tolokonnikov, L. A. 1998, “Sound scattering on a spheroid with mixed boundary conditions”,ми // Известия Тульского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика. 1998.Izv. Tul. Gos. Univ. Ser. Math. Mech. Inform., vol. 4, no. 1, pp. 139 – 142, [in Russian].Т. 4. Вып. 1. С. 139 – 142.Tolokonnikov, L. A. 2005, “Scattering of cylindrical and spherical sound waves by a spheroidТолоконников Л.А. Рассеяние цилиндрических и сферических звуковых волн сфероидомwith mixed boundary conditions”, Izv. Tul. Gos. Univ. Ser. Math. Mech. Inform., vol. 11, no.со смешанными граничными условиями // Известия Тульского гос. ун-та. Серия Матема-, pp. 201 – 207, [in Russian].тика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11. Вып. 5. С. 201 – 207.Yeh, C. 1967, “Scattering of acoustic waves by a penetrable prolate spheroid. I. Liquid prolateYeh C. Scattering of acoustic waves by a penetrable prolate spheroid. I. Liquid prolate spheroidspheroid”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 42, no. 2, pp. 518 – 521.// J. Acoust. Soc. Amer. 1967. Vol. 42. No. 2. P. 518 – 521.Burke, J. E. 1968, “Scattering by penetrable spheroids”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 43, no. 4,Burke J.E. Scattering by penetrable spher oids // J. Acoust. Soc. Amer. 1968. Vol. 43. No. 4.pp. 871 – 875.P. 871 – 875.Rodionova, G. A., Tolokonnikov, L. A. 1989, “Sound scattering by a rotating spheroid”, Akust.Родионова Г.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звука вращающимся сфероидом // Акуст.Zhurn., vol. 35, no. 5, pp. 895 – 899, [in Russian].журн. 1989. Т. 35. № 5. С. 895 – 899.Kotsis, A. D., Roumeliotis, J. A. 2008, “Acoustic Scattering by a Penetrable Spheroid”, Akust.Котсис А. Д., Роумелиотис Дж. А. Рассеяние звука на проницаемом сфероиде // Акуст.Zhurn., vol. 54, no. 2, pp. 189 – 204, [in Russian].журн. 2008. Т. 54. № 2. С. 189 – 204.Flax, L., Dragonette, L., Varadan, V. K., Varadan, V. V. 1982, “Analysis and computation ofFlax L., Dragonette L., Varadan V.K., Varadan V.V. Analysis and computation of the acousticthe acoustic scattering by an elastic prolate spheroid obtained from the T-matrix formulation”,scattering by an elastic prolate spheroid obtained from the T-matrix formulation // J. Acoust.J. Acoust. Soc. Amer., vol.71, no. 5, pp. 1077 – 1082.Soc. Amer. 1982. Vol.71. No. 5. P. 1077 – 1082.Kleshchev, A. A. 1986, “Three dimensional and two-dimensional (axis symmetrical) characteristicsКлещев A.A. Трехмерные и двумерные (осесимметричные) характеристики упругих сфе-of elastic spheroidal scatterers”, Akust. Zhurn., vol. 32, no. 2, pp. 268 – 270, [in Russian].роидальных рассеивателей // Акуст. журн. 1986. Т.32. № 2. С. 268 – 271.Kleshchev, A. A., Rostovtsev, D. M. 1986, “Sound scattering by solid and liquid ellipsoidal shellsКлещев A.A., Ростовцев Д.М. Рассеяние звука упругой и жидкой эллипсоидальными обо-of revolution”, Akust. Zhurn., vol. 32, no. 5, pp. 691 – 694, [in Russian].лочками вращения // Акуст.журн. 1986. Т.32. № 5. С. 691 – 694.Werby, M., Graunard, G. 1987, “Classification of resonances in the scattering from submergedWerby M., Graunard G. Classification of resonances in the scattering from submerged spheroidalspheroidal shells insonified at arbitrary angles of incidence”, J. Acoust.Soc. Amer., vol.82, no.shells insonified at arbitrary angles of incidence // J. Acoust.Soc. Amer. 1987. Vol.82. No. 4., pp. 1369 – 1377.P. 1369 – 1377.Hackman, R. H., Sammelmann, G. S., Williams, K. L., Trivett, D. H. 1988, “A reanalysis of theHackman R.H., Sammelmann G.S., Williams K.L., Trivett D.H. A reanalysis of the acousticacoustic scattering from elastic spheroids”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 83, no. 4, pp. 1255 –scattering from elastic spheroids // J. Acoust. Soc. Amer. 1988. Vol. 83. No. 4. P. 1255 – 1266.scattering from elastic spheroids // J. Acoust. Soc. Amer. 1988. Vol. 83. No. 4. P. 1255 – 1266.Рождественский К.Н., Толоконников JI.A. О рассеянии звуковых волн на упругом сферо-Rozhdestvenskii, K. N., Tolokonnikov, L. A. 1990, “Acoustic scattering by an elastic spheroid”,иде // Акуст. журн. 1990. Т.36. № 5. С. 927 – 930.Soviet Physics. Acoustics, vol. 36, no. 5, pp. 515 – 516.Толоконников Л.А., Скобельцын С.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругомTolokonnikov, L. A., Skobel’tsyn, S. A. 1991, “Diffraction of a plane sound wave on an elasticсфероиде при наклонном падении // Диффер. уравнения и прикл. задачи. 1991. С. 113 –spheroid at an inclined incidence”, Differ. equations and appl. probl., pp. 113 – 119, TulaТула: Изд-во Тульск. политехн. ин-та.Politech. Inst., Tula, [in Russian].Bao X L., Uherall H., Niemiec J. Experimental study of sound scattering by elastic spheroidsBao, X L., Uherall, H., Niemiec, 1997, J. “Experimental study of sound scattering by elastic// J. Acoust. Soc. Amer. 1997. Vol. 102. No. 2. P. 933 – 942.spheroids”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 102, no. 2, pp. 933 – 942.Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сфериче-Tolokonnikov, L. A. 2011, “Diffraction of a plane sound wave on an elastic spheroid with anской полостью, расположенной произвольным образом // Известия Тульского гос. ун-та.arbitrary located spherical cavity”, Izv. Tul. Gos. Univ. Ser. Estestv. Nauki, no. 2, pp. 169 –Естеств. науки. 2011. Вып. 2. С. 169 – 175., [in Russian].Hackman R.H., Werby M.F. Nearfield effects in acoustic scattering // J. Acoust. Soc. Amer.Hackman, R. H., Werby, M. F. 1984, “Nearfield effects in acoustic scattering”, J. Acoust. Soc.Vol. 75. No. 3. P. 1001 – 1003.Amer., vol. 75, no. 3, pp. 1001 – 1003.Толоконников Л.А. Рассеяние цилиндрических и сферических звуковых волн упругимTolokonnikov, L. A. 2011, “Scattering of cylindrical and spherical sound waves by a elasticсфероидом с произвольно расположенной сфероидальной полостью // Вестник ТулГУ.spheroid with an arbitrary located spheroidal cavity”, Vest. Tul. Gos. Univ. Ser. Math. Mech.Серия Математика. Механика. Информатика. 2011. Т.17. Вып.1. С. 78 – 84.Inform., vol. 17, no. 1, pp. 78 – 84, [in Russian].Yeh C. Scattering by liquid-coated prolate spheroids // J. Acoust. Soc. Amer. 1969. Vol. 46.Yeh, C. 1969, “Scattering by liquid-coated prolate spheroids”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 46,No. 3. P. 797 – 801.no. 3, pp. 797 – 801.Charalambopoulos A., Dassios G., Fotiadis D.I., Massalas C.V.: Scattering of a point generatedCharalambopoulos, A., Dassios, G., Fotiadis, D. I., Massalas, C. V. 2001, “Scattering of a pointfield by a multilayered spheroid // Acta Mech. 2001. Vol. 150. No. 2. P. 107 – 119.generated field by a multilayered spheroid”, Acta Mech., vol. 150, no. 2, pp. 107 – 119.Charalambopoulos A., Fotiadis D.I., Massalas C.V. Scattering of a point generated field byCharalambopoulos, A., Fotiadis, D. I., Massalas, C. V. 2002, “Scattering of a point generatedkidney stones // Acta Mech. 2002. Vol. 153. No. 1. P. 63 – 77.field by kidney stones”, Acta Mech., vol. 153, no. 1, pp. 63 – 77.К. Фламмер. Таблицы волновых сфероидальных функций. М.: ВЦ АН СССР, 1062. 140 с.Flammer, C. 1957, “Spheroidal Wave Functions”, Stanford University Press, Stanford, 220 p.Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики Т.2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.Mors, P. M., Feshbach, H. 1953, “Methods of Theoretical Physics”, vol. 2, McGraw-Hill, NewШендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.York, 1001 p.Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз,Shenderov, E. L. 1972,“Wave problems of underwater acoustics”, Sudostroenie, Leningrad, 352 p.708 с.[in Russian].Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.Kantorovich, L. V., Krilov, V. I. 1962, “Approximate methods of higher analysis”, Fizmatgiz ,Moscow, 708 p., [in Russian].Moscow, 708 p., [in Russian].Lebedev, N. N. 1963, “Special Functions and their Applications”, Fizmatgiz, Moscow, 358 p.,[inLebedev, N. N. 1963, “Special Functions and their Applications”, Fizmatgiz, Moscow, 358 p.,[inRussian].Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.