chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-1-164-180cheb-1942Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceРассеяние плоской звуковой волны жидким телом сложной формыScattering of a plane sound wave by a liquid body of complex shapeГорбачевДмитрий ВикторовичGorbachevDmitry Viktorovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

dvgmail@mail.ruЛепетковДаниил РуслановичLepetkovDaniil Ruslanovich

аспирант

postgraduate student

Lepetckov@ya.ruСкобельцынСергей АлексеевичSkobel’tsynSergey Alekseevich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

skbl@rambler.ruТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationТульский государственный университет; Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State University; Tula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation202522062025261164180Copyright © Горбачев Д.В., Лепетков Д.Р., Скобельцын С.А., 20252025Горбачев Д.В., Лепетков Д.Р., Скобельцын С.А.Gorbachev D.V., Lepetkov D.R., Skobel’tsyn S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1942

Рассматривается задача рассеяния плоской гармонической звуковой волны на препятствии в виде жидкого тела с неканонической формой и кусочно-гладкой поверхностью, которая аппроксимируется полигональной сеткой. Модель процесса строится на базе уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Для решения задачи сравниваются два численно-аналитических подхода, основанных на методе конечных элементов (МКЭ) и методе граничных элементов (МГЭ). В первом подходе препятствие заключается в сферу, область внутри которой с учетом поверхности препятствия разбивается на пространственные (3D) конечные элементы. В этой области задача решается МКЭ, что дает значения потенциала на сфере, которые используются для нахождения коэффициентов сферическогоразложения потенциала рассеянной волны. Во втором подходе при помощи пространственной функции Грина для уравнения Гельмгольца задача сводится к системе интегральных уравнений по поверхности препятствия. Также применяется метод Бертона и Миллера для исключения неединственности решения и регуляризация сингулярных интегралов на основе тождеств для статической функции Грина. В МГЭ достаточно использовать раз-биение поверхности на граничные (2D) элементы. Приводятся основные соотношения для применения численных методов и результаты решения задачи рассеяния звука на примережидкого тела, имеющего форму объединения двух шаров одинакового радиуса. Установлено, что для достижения приемлемой точности расчета рассеянного поля метод МГЭтребует существенно меньших вычислительных затрат по сравнению с МКЭ.

The problem of scattering of a plane harmonic sound wave by an obstacle in the form of a liquid body with a non-canonical shape and a piecewise-smooth surface, approximated by a polygonal mesh, is considered. The process model is based on the equations of hydrodynamics for an ideal fluid. Two numerical-analytical approaches to solving the problem are compared: the finite element method (FEM) and the boundary element method (BEM). In the first approach,the obstacle is enclosed within a sphere, and the domain inside, taking into account the surface of the obstacle, is divided into spatial (3D) finite elements. In this domain, the problem is solved using FEM, which provides the potential values on the sphere. These values are then used to determine the coefficients of the spherical expansion of the scattered wave potential. In the second approach, using the spatial Green’s function for the Helmholtz equation, the problem isreduced to a system of integral equations over the surface of the obstacle. The Burton-Miller method is also applied to eliminate the non-uniqueness of the solution, and singular integrals are regularized using identities for the static Green’s function. In the BEM, it is sufficient to divide the surface into boundary (2D) elements. The main equations for applying the numerical methods and the results of solving the sound scattering problem for a liquid body in the form of two spheres of equal radius are presented. It is established that to achieve acceptable accuracy in calculating the scattered field, the BEM requires significantly fewer computational resources compared to the FEM.

рассеяние звукажидкое телоакустический потенциалметод конечных элементов (МКЭ)метод граничных элементов (МГЭ)функция Грина.sound scatteringliquid bodyacoustic potentialfinite element method (FEM)boundary element method (BEM)Green’s function.Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ соглашение № 073-00033-24-01 от 09.02.2024 тема научного исследования «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике».ReferencesFrisk G.V., DeSanto J.A. Scattering by spherically symmetric inhomogeneities // J. Acoust. Soc. Amer. 1970. Vol. 47, № 1B. P. 172–180.Frisk, G.V. & DeSanto, J.A. 1970, “Scattering by spherically symmetric inhomogeneities”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 47, no. 1B, pp. 172–180.¨Uberall H., George J., Farhan A.R., Mezzorani G., Nagl A., Sage K.A., Murphy J.D. Dynamics of acoustic resonance scattering from spherical targets: Application to gas bubbles in fluids // J. Acoust. Soc. Amer. 1979. Vol. 66. P. 1161–1172.¨Uberall, H., George, J., Farhan, A.R., Mezzorani, G., Nagl, A., Sage, K.A. & Murphy, J.D. 1979, “Dynamics of acoustic resonance scattering from spherical targets: Application to gas bubbles in fluids”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 66, pp. 1161–1172.Буров В.А., Румянцева О.Д. Единственность и устойчивость решения обратной задачи акустического рассеяния // Акуст. журн. 2003. Том. 49. № 5. С. 590–603.Burov, V.A. & Rumyantseva, O.D. 2003, “Uniqueness and stability of the solution to an inverse acoustic scattering problem”, Acoust. Phys., vol. 49, no. 5, pp. 496–507.Martin P.A. Acoustic scattering by inhomogeneous obstacles // SIAM J. Appl. Math. 2003. Vol. 64, № 1. P. 297–308.Martin, P.A. 2003, “Acoustic scattering by inhomogeneous obstacles”, SIAM J. Appl. Math., vol. 64, no. 1, pp. 297–308.Буров В.А., Попов А.Ю., Сергеев С.Н., Шуруп А.С. Акустическая томография океана при использовании нестандартного представления рефракционных неоднородностей // Акуст. журн. 2005. Том. 51. № 5. С. 602–613.Burov, V.A., Popov, A.Y., Sergeev, S.N. & Shurup, A.S. 2005, “Ocean acoustic tomography with a nonstandard representation of refractive inhomogeneities”, Acoust. Phys., vol. 51, no. 5, pp. 513–523.Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния на основе алгоритма Новикова-Хенкина // Акуст. журн. 2005. Том. 51. № 4. С. 437–446.Alekseenko, N.V., Burov, V.A. & Rumyantseva, O.D. 2005, “Solution of the three-dimensional inverse acoustic scattering problem on the basis of the Novikov–Henkin algorithm”, Acoust. Phys., vol. 51, no. 4, pp. 367–375.Hasheminejad S.M., Sanaei R. Ultrasonic scattering by a fluid cylinder of elliptic cross section, including viscous effects // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. 2008. Vol. 55, № 2. P. 391–404.Hasheminejad, S.M. & Sanaei, R. 2008, “Ultrasonic scattering by a fluid cylinder of elliptic cross section, including viscous effects”, IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control., vol. 55, no. 2, pp. 391–404.Буров В.А., Шмелев А.А. Численное и физическое моделирование процесса томографии на основе акустических нелинейных эффектов третьего порядка // Акуст. журн. 2009. Том. 55. № 4–5. С. 466–480.Burov, V.A. & Shmelev, A.A. 2009, “Numerical and physical modeling of the tomography process based on third-order nonlinear acoustic effects”, Acoust. Phys., vol. 55, no. 4, 482–495.Duck F.A., Baker A.C., Starritt H.C. (ed.) Ultrasound in medicine. Boca Raton: CRC Press, 2020.Duck, F.A., Baker, A.C. & Starritt, H.C. (eds). 2020, “Ultrasound in medicine”, CRC Press, Boca Raton.Li P., Zhai J., Zhao Y. Stability for the acoustic inverse source problem in inhomogeneous media // SIAM J. Appl. Math. 2020. Vol. 80, № 6. P. 2547–2559.Li, P., Zhai, J. & Zhao, Y. 2020, “Stability for the acoustic inverse source problem in inhomogeneous media”, SIAM J. Appl. Math., vol. 80, no. 6, pp. 2547–2559.Skudrzyk E. The foundations of acoustics basic mathematics and basic acoustics. New York, Wien: Springer-Verlag, 1971.Skudrzyk, E. 1971, “The foundations of acoustics basic mathematics and basic acoustics”, Springer-Verlag, New York, Wien.Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973.Isakovich, M.A. 1973, “General acoustics”, Nauka, Moscow. (In Russ.)Anderson V.C. Sound scattering from a fluid sphere // J. Acoust. Soc. Amer. 1950. Vol. 22, № 4. P. 426–431.Anderson, V.C. 1950, “Sound scattering from a fluid sphere”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 22, no. 4, pp. 426–431.Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 132–145.Ivanov, V.I. & Skobel’tsyn, S.A. 2008, “Modeling solutions to acoustics using FEM”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2, pp. 132–145. (In Russ.)Скобельцын С.А. Некоторые обратные задачи дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах // Дисс. . . . докт. физ.-мат. наук. Тула, ТулГУ, 2020.Skobeltsyn, S.A. 2020, “Some inverse problems of diffraction of sound waves on inhomogeneous anisotropic elastic bodies”, Diss. . . . doc. physics and mathematics Sci., Tula State University, Tula. (In Russ.).Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer, 2013.Ihlenburg, F. 2013, “Finite element analysis of acoustic scattering”, Springer, New York.Burton A.J., Miller G.F. The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary-value problems // Proc. R. Soc. Lond. A. Math. Phys. Sci. 1971. Vol. 323, № 1553. P. 201–210.Burton, A.J. & Miller, G.F. 1971, “The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary-value problems”, Proc. R. Soc. Lond. A. Math. Phys. Sci., vol. 323, no. 1553, pp. 201–210.Бреббия К. Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов / Пер. с англ. М.: Мир, 1987.Brebbia, C.A., Telles, J.C.F. & Wrobel, L.C. 1984, “Boundary element techniques, theory and applications in engineering”, Springer, Berlin.Chen K., Cheng J., Harris P.J. A new study of the Burton and Miller method for the solution of a 3D Helmholtz problem // IMA J. Appl. Math. 2009. Vol. 74, № 2. P. 163–177.Chen, K., Cheng, J. & Harris, P.J. 2009, “A new study of the Burton and Miller method for the solution of a 3D Helmholtz problem”, IMA J. Appl. Math., vol. 74, no. 2, pp. 163–177.Chen G., Zhou J. Boundary element methods with applications to nonlinear problems / 2nd ed. Springer: Dordrecht, 2010.Chen, G. & Zhou, J. 2010, “Boundary element methods with applications to nonlinear problems”, 2nd ed., Springer, Dordrecht.Simpson R.N., Scott M.A., Taus M., Thomas D.C., Lian H. Acoustic isogeometric boundary element analysis // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2014. Vol. 269. P. 265–290.Simpson, R.N., Scott , M.A., Taus M., Thomas D.C. & Lian H. 2014, “Acoustic isogeometric boundary element analysis”, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., vol. 269, pp. 265–290.Amini S. On the choice of the coupling parameter in boundary integral formulations of the exterior acoustic problem // Appl. Anal. 1990. Vol. 35. P. 75–92.Amini, S. 1990, “On the choice of the coupling parameter in boundary integral formulations of the exterior acoustic problem”, Appl. Anal., vol. 35, pp. 75–92.Liu Y.J., Rudolphi T.J. Some identities for fundamental-solutions and their applications to weakly-singular boundary element formulations // Eng. Anal. Bound. Elem. 1991. Vol. 8, № 6. P. 301–311.Liu, Y.J. & Rudolphi, T.J. 1991, “Some identities for fundamental-solutions and their applications to weakly-singular boundary element formulations”, Eng. Anal. Bound. Elem., vol. 8, no. 6, pp. 301–311.Wilton D.R., Rao S.M., Glisson A.W., Schaubert D.H., Al-Bundak O.M., Butler C.M. Potential integrals for uniform and linear source distnbutions on polygonal and polyhedral domains // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1984. Vol. 32, no. 3. P. 276–281.Wilton, D.R., Rao, S.M., Glisson, A.W., Schaubert, D.H., Al-Bundak, O.M. & Butler, C.M. 1984, “Potential integrals for uniform and linear source distnbutions on polygonal and polyhedral domains”, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 32, no. 3, pp. 276–281.Lin T.C. A proof for the Burton and Miller integral equation approach for the Helmholtz equation // J. Math. Anal. Appl. 1984. Vol. 103, № 2. P. 565–574.Lin, T.C. 1984, “A proof for the Burton and Miller integral equation approach for the Helmholtz equation”, J. Math. Anal. Appl., vol. 103, no. 2, pp. 565–574.Jackson J.D. Classical electrodynamics / 3rd ed. N.Y.: Wiley City, 1999.Jackson, J.D. 1999, “Classical electrodynamics”, 3rd ed., Wiley City, New York.Meyer M., Desbrun M., Schr¨oder P., Barr A.H. Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds // In: H.-C. Hege, K. Polthier (eds) Visualization and Mathematics III. Mathematics and Visualization. Berlin–Heidelberg: Springer, 2003.Meyer, M., Desbrun, M., Schr¨oder, P. & Barr, A.H. 2003, “Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds”, In: H.-C. Hege, K. Polthier (eds) Visualization and Mathematics III. Mathematics and Visualization, Springer, Berlin–Heidelberg.Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для интегрального уравнения смешанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца // ЖВМ и МФ. 2016. Том. 56. № 7. С. 1340–1348.Khalilov, E.H. 2016, “Justification of the collocation method for the integral equation for a mixed boundary value problem for the Helmholtz equation”, Comput. Math. Math. Phys., vol. 56, no. 7, pp. 1310–1318.Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.Colton, D. & Kress, R. 2013, “Integral equation methods in scattering theory”, SIAM, Philadelphia.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.