Статья представляет собой обзор свойств многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница и его подмногообразий. Характеристика основного поля на протяжении всей работы предполагается равной нулю. Алгеброй Лейбница над некоторым полем называется линейная алгебра над этим полем, удовлетворяющая так называемому тождеству Лейбница (xy)z ≡ (xz)y + x(yz), которое превращает правое умножение на элемент алгебры в дифференцирование этой алгебры. Поскольку тождество Лейбница по модулю антикоммутативности эквива- лентно тождеству Якоби, то, очевидно, что алгебры Лейбница являются обобщением понятия алгебр Ли. Многообразие 3N определяется тождеством x(y(zt)) ≡ 0 и обладает рядом экстремальных свойств (свойства, которыми обладает любое его собственное подмногообразие, в то время как само многообразие ими не обладает). В силу нулевой характеристики основного поля любое тождественное соотношение эквивалентно системе полилинейных тождеств, что позволяет, использовать хорошо развитую теорию представлений симметрической группы. Кроме использования классических результатов структурной теории колец и линейных алгебр, теории представлений, а также структурной теории многообразий ассоциативных алгебр, использование оригинальных комбинаторных и асимптотических рассуждений с применением тождеств, диаграмм Юнга позволили получить следующие результаты: многообразие 3N имеет почти экспоненциальный рост, почти полиномиальный рост кодлины, почти конечные кратности. Кроме того, данное многообразие является многообразием почти ассоциативного типа, то есть кохарактер любого его собственного подмногообразия лежит в крюке. В данной работе рассматриваются также свойства подмногообразий многообразия 3N: проводится описание полного списка подмногообразий почти полиномиального роста; доказывается целочисленность экспоненты любого собственного подмногообразия многообразия 3N.
Article represents the review of properties of variety left nilpotent of the class not more than 3 Leibniz algebras and its subvarieties. The characteristic of basic field will be equal to zero. A Leibniz algebra is an algebra with multiplication satisfying the Leibniz identity (xy)z = (xz)y + x(yz). In other words, the operator of right multiplication is a derivation of the algebra. Since Leibniz identity equivalent to the Jacobi identity, in case multiplication in Leibniz algebra is anti-commutative, it is obvious that the Leibniz algebras are generalizations of concept of Lie algebtras. The variety 3N is defined by identity x(y(zt)) ≡ 0 possesses some extreme properties (properties, which any its own subvariety possesses, while the variety doesn’t possess them). As the basic field has zero characteristic zero, then any identity is equivalent to the system of multilinear identities, that allows to use well-developed theory of representations of the symmetric group. In addition to using the classical results of the structural theory of rings and linear algebras, representation theory, as well as the structural theory of varieties of associative algebras, and the use of original asymptotic and combinatorial arguments with application identities and Young diagrams allowed to receive the following results: the variety 3N has almost exponential growth, almost polynomial growth of colength, almost finite multiplicity. Moreover, this variety has almost associative type, that is his own cocharacter any subvarieties lies in the hook. In this work are considered also subvarieties of variety 3N: held description of the complete list of varieties with almost polynomial growth; proved integrality of exponents any proper subvariety of variety 3N.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.