chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-1-88-98cheb-1935Research ArticleСтатьиArticleОценки тригонометрических сумм по решениям квадратичных сравненийEstimates of trigonometric sums from solutions of quadratic congruencesРеброваИрина ЮрьевнаRebrovaIrina Yurevna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

rebrova@tolstovsky.ruТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation2025220620252618898Copyright © Реброва И.Ю., 20252025Реброва И.Ю.Rebrova I.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1935

В 1963 году, опираясь на оценки специальных тригонометрических сумм, Хули впервые доказал асимптотическую формулу для среднего числа делителей квадратичного полинома со степенным понижением в остаточном члене по сравнению с главным. Позднее эти оценки были улучшены. В работе доказываются новые, более сильные результаты в этом направлении исследований аналитической теории чисел.

In 1963, relying on estimates of special trigonometric sums, Hawley first proved an asymptotic formula for the average number of divisors of a quadratic polynomial with a powerlaw reduction in the remainder term compared to the principal term. Later, these estimates were improved.The paper proves new stronger results in this area of research in analytical number theory.

тригонометрические суммыквадратичные сравнения.trigonometric sumsquadratic congruences.ReferencesHooley C. On the number of divisors of quadratic polinomials. Acta Math., 1963, V.110, № 1–2, p. 97–114 (Русский перевод: сб. Математика, 1968, 12:5, с. 3–18.)Hooley, C. 1963, “On the number of divisors of quadratic polynomials”, Acta Math., 110(1–2), 97–114. (Russian translation: collection Mathematics, 1968, 12:5, pp. 3–18.)Быковский В. А. Ассимптотические свойства целых точек (𝑎1, 𝑎2), удовлетворяющих сравнению 𝑎1𝑎2 ≡ 𝑙(mod 𝑞). В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ. Л.: Наука, 1981, т. 112, с. 5–25.Bykovsky, V. A. 1981, “Asymptotic properties of integer points (𝑎1, 𝑎2) satisfying the relation 𝑎1𝑎2 ≡ 𝑙(mod 𝑞)”, In Notes of Scientific Seminars of LOMI, L.: Nauka, 112, pp. 5–25.Быковский В. А. Об одной формуле суммирования в спектральной теории автоморфных функций и ее применения в аналитической теории чисел. Докл. АН СССР, 1982, т. 264, Т. 2, с. 275–277.Bykovsky, V. A. 1982, “On a summation formula in the spectral theory of automorphic functions and its applications in analytic number theory”, Dokl. AN USSR, 264(2), pp. 275–277.Быковский В. А. Спектральные разложения некоторых автоморфных функций и их теоретико-числовые приложения. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ. Л.: Наука, 1984, с. 15–33.Bykovsky, V. A. 1984, “Spectral decompositions of some automorphic functions and their number-theoretic applications”, In Notes of Scientific Seminars of LOMI, L.: Nauka, pp. 15–33.Быковский В. А. Арифметические средние и 𝐿–ряды автоморфных форм. Хабаровск, Издательство ТОГУ, 2017 г., 68 с.Bykovsky, V. A. 2017, “Arithmetic means and 𝐿–series of automorphic forms”, Khabarovsk: Publishing House of TOGU, 68 p.Zagier D. Eisenstein series and the Rieman zeta-function, Automorphic Forms, Representation Theory and Arithmetic, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1979. pp. 275–301.Zagier, D. 1979, “Eisenstein series and the Riemann zeta-function”, In Automorphic Forms, Representation Theory and Arithmetic, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, pp. 275–301.Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. М., 1950, 979 с.Gauss, K. F. 1950, “Works on number theory”, M: Nauka, 979 p.Дирихле П. Лекции по теории чисел. М., Л., 1936, 404 с.Dirichlet, P. 1936, “Lectures on number theory”, M: Leningrad, 404 p.Иванец Х., Ковальский Э. Аналитическая теория чисел. М.: МЦНМО, 2014 (Перевод с английского: Iwaniec H., Kowalski E. Analytic Number Theory, Colloquium publications (AMS), v. 53, 2004).Iwaniec, H., & Kowalski, E. 2004, “Analytic Number Theory”, Colloquium Publications (AMS), 53.Kim H. and Sarnak P. Refined estimates towards the Ramanujan and Selberg conjectures. G. Amer. Math. Soc., 16, 2003, p. 175–181.Kim, H., & Sarnak, P. 2003, “Refined estimates towards the Ramanujan and Selberg conjectures”, G. Amer. Math. Soc., 16, pp. 175–181.Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, Т.1 (1973); Т.2 (1974). (Перевод с английского: Bateman H. and Erdelyi, Higher Transcendental functions, Mc GRAW-Hill BOOK COMPANY, vol. 1, 2, 1953).Bateman, H., & Erdelyi, A. 1953, “Higher Transcendental Functions”, McGraw-Hill Book Company, Vol. 1, 2.Liu S. and Hasri R. The average of the divisor function over values of quadratic polynomial. Proc. Amer. Math. Soc., 143, 2015, p. 4143–4160.Liu, S., & Hasri, R. 2015, “The average of the divisor function over values of quadratic polynomial”, Proc. Amer. Math. Soc., 143, pp. 4143–4160.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.