chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-1-47-61cheb-1932Research ArticleСтатьиArticleО некоторых экстремальных задачах для целых функций экспоненциального типаOn some extremal problems for entire functions of exponential typeМановАнатолий ДмитриевичManovAnatoliy Dmitrievich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

manov.ad@ro.ruДонецкий государственный университет; Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наукРоссияDonetsk State University (Donetsk); Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of SciencesRussian Federation2025220620252614761Copyright © Манов А.Д., 20252025Манов А.Д.Manov A.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1932

В статье изучается ряд экстремальных задач для неотрицательных и интегрируемых на вещественной оси целых функций экспоненциального типа ⩽ 𝜎 (класс ℰ+1,𝜎).Рассматриваемые задачи имеют следующий вид. Пусть Λ𝜌 – инвариантный относительно сдвига оператор с локально интегрируемым символом 𝜌(𝑥), 𝑥 ∈ R таким, что 𝜌(𝑥) = 𝜌(−𝑥), 𝑥 ∈ R. При фиксированном 𝜎 > 0 требуется найти следующие величины:

Данная общая задача сводится к равносильной экстремальной задаче для положительно определённых функций, решение которой известно. Как следствие, нами получены явные значения величин 𝑀*(𝜌, 𝜎) и 𝑚*(𝜌, 𝜎) для ряда различных символов 𝜌. В частности, рассмотрены случаи, когда Λ𝜌 – дифференциальный или разностный оператор специального вида.

In this paper we consider a number of extremal problems for nonnegative and integrable entire functions of exponential type ⩽ 𝜎 (the class ℰ+1,𝜎). The problems under consideration have the following form. Let Λ𝜌 be a translation invariant operator with a locally integrable symbol 𝜌(𝑥), 𝑥 ∈ R, such that 𝜌(𝑥) = 𝜌(−𝑥), 𝑥 ∈ R. For a fixed 𝜎 > 0, it is required to find the following constants:

This general problem reduces to an equivalent extremal problem for positive-definite functions, the solution of which is known. As consequence, we obtained exact values of 𝑀*(𝜌, 𝜎) and 𝑚*(𝜌, 𝜎) for a number of different symbols 𝜌. In particular, we consider cases where Λ𝜌 is a differential or difference operator of a special form.

целые функции экспоненциального типаэкстремальные задачиположительно определенные функциитеорема Бохнерапреобразование Фурье.entire functions of exponential typeextremal problemspositive-definite functionsBochner theoremFourier transform.Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-71-30012).ReferencesИбрагимов И. И. Экстремальные задачи в классе целых функций конечной степени // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Том 23, № 2. С. 243–256.Ibragimov, I. I. 1959. “Extremal problems in a class of entire functions of finite degree”, Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 23, no. 2, pp. 243–256. (in Russ.)Korevaar J. An inequality for entire functions of exponential type // Nieuw Arch. Wiskunde. 1949. Vol. 23., № 2. P. 55–62.Korevaar, J. 1949. “An inequality for entire functions of exponential type”, Nieuw Arch. Wiskunde., vol. 23, no. 2, pp. 55–62.Горбачев Д. В. Интегральная задача Конягина и (𝐶,𝐿)-константы Никольского // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Том 11, № 2. С. 72–91.Gorbachev, D. V. 2005. “An integral problem of Konyagin and the (𝐶,𝐿)-constants of Nikol’skii”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, vol. 11, no. 2, pp. 72–91. (in Russ.)Carneiro E., Milinovich M. B., Soundararajan K. Fourier optimization and prime gaps // Comment. Math. Helv. 2019. Vol. 94. P. 533–568.Carneiro, E., Milinovich, M. B. & Soundararajan, K. 2019. “Fourier optimization and prime gaps”, Comment. Math. Helv., vol. 94, pp. 533–568.H¨ormander L., Bernhardsson B. An extension of Bohr’s inequality // Boundary value problems for partial differential equations and applications. RMA Res. Notes Appl. Math. 1993. Vol. 29. P. 179–194.H¨ormander, L.& Bernhardsson, B. 1993. “An extension of Bohr’s inequality”, Boundary value problems for partial differential equations and applications. RMA Res. Notes Appl. Math., vol. 29, pp. 179–194.Горбачев Д. В. Точные неравенства Бернштейна – Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сб. 2021. Том 22, № 5. C. 58–110.Gorbachev, D. V. 2021. “Sharp Bernstein–Nikolskii inequalities for polynomials and entire functions of exponential type”, Chebyshevskii Sb., vol. 22, no. 5, pp. 58–110. (in Russ.)Манов А. Д. Об одной экстремальной задаче для положительно определённых функций // Чебышевский сб. 2021. Том 22, № 5. С. 161–171.Manov, A. D. 2021. “On an extremal problem for positive definite functions”, Chebyshevskii Sb., vol. 22, no. 5, pp. 161–171. (in Russ.)Sasv´ari Z. Multivariate Characteristic and Correlation Functions. Berlin, Boston: De Gruyter, 2013.Sasv´ari, Z. 2013. “Multivariate Characteristic and Correlation Functions”, De Gruyter, Berlin–Boston.Siegel C. L. ¨Uber Gitterpunkte in konvexen K¨orpern und ein damit zusammenh¨angendes Extremal problem // Acta Math. 1935. Vol. 65. P. 307–323.Siegel, C. L. 1935. “ ¨Uber Gitterpunkte in konvexen K¨orpern und ein damit zusammenh¨angendes Extremal problem”, Acta Math., vol. 65. pp. 307–323.Boas R.P. Jr., Kac M. Inequalities for Fourier transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12, № 1. P. 189–206.Boas, R.P. Jr. & Kac, M. 1945. “Inequalities for Fourier transforms of positive functions”, Duke Math. J., vol. 12, no. 1, pp. 189–206.Горбачев Д. В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Том 69, № 3. C. 346–352.Gorbachev, D. V. 2001. “Extremum Problem for Periodic Functions Supported in a Ball”, Math. Notes., vol. 69, no. 3, pp. 313–319.Gabardo J.P. The Tur´an Problem and Its Dual for Positive Definite Functions Supported on a Ball in Rd // J. Fourier Analysis and Applictions. 2024. Vol. 30, № 11.Gabardo, J.P. 2024. “The Tur´an Problem and Its Dual for Positive Definite Functions Supported on a Ball in Rd”, J. Fourier Analysis and Applictions, vol. 30, no. 11.R´ev´esz S. G. Tur´an’s extremal problem on locally compact abelian groups // Anal. Math. 2011. Vol. 37, № 1. P. 15–50.R´ev´esz, S. G. 2011. “Tur´an’s extremal problem on locally compact abelian groups”, Anal. Math., vol. 37, no. 1, pp. 15–50.Sz´asz O. ¨Uber harmonische Funktionen und L-Formen // Math. Zeitschr. 1918. Vol. 1. P. 149–162.Sz´asz, O. 1918. “ ¨Uber harmonische Funktionen und L-Formen”, Math. Zeitschr., vol. 1, pp. 149–162.Garsia A., Rodemich E., Rumsey H. On Some Extremal Positive Definite Functions // Journal of Mathematics and Mechanics. 1969. Vol. 18, № 9, P. 805–834.Garsia, A., Rodemich, E. & Rumsey, H. 1969. “On Some Extremal Positive Definite Functions”, Journal of Mathematics and Mechanics, vol. 18, no. 9, pp. 805–834.Delsarte P., Genin Y., Kamp Y. Interpolation Type Problems in the Class of Positive Trigonometric Polynomials of Fixed Order // Math. Control Signal Systems. 1989. Vol. 2. P. 171–185.Delsarte, P., Genin, Y. & Kamp, Y. 1989. “Interpolation Type Problems in the Class of Positive Trigonometric Polynomials of Fixed Order”, Math. Control Signal Systems, vol. 2, pp. 171–185.Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.Stein, E. 1970. “Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions”, Princeton University Press.Sasv´ari Z. Positive Definite and Definitizable Functions. Berlin: Akad. Verl., 1994.Sasv´ari, Z. 1994. “Positive Definite and Definitizable Functions”, Akad. Verl., Berlin.Trigub R. M., Belinsky E. S. Fourier Analysis and Approximation of Functions. Boston, Dordrecht, London: Kluwer-Springer, 2004.Trigub, R. M. & Belinsky, E. S. 2004. “Fourier Analysis and Approximation of Functions”, Kluwer-Springer, Boston–Dordrecht–London.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.