доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
аспирант
postgraduate student
старший преподаватель
senior lecturer
доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
Работа является новой редакцией предыдущей работы авторов на эту тему. Существенное улучшение результатов предыдущей статьи связано с использованием весовых функций для перехода от интеграла меньшей размерности к большей.Такой переход оказался необходимым, чтобы получить новые оценки погрешности приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма II рода методом итерации сиспользованием алгебраических сеток.Суть этого подхода заключается в том, что при приближённом вычислении решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода используется частичная сумма ряда Неймана, состоящего из интегралов разной кратности. При использовании различных алгебраических сеток, соответствующим различным чисто вещественным полям и одному параметру растяжения, оказывается, что для меньшей размерности будет использоватьсяменьшее количество узлов алгебраической сетки, а поэтому и точность вычисления будет меньшей. Чтобы не решать сложную задачу оптимизации числа узлов для разных размерностей, в данной работе предложен подход, когда все интегралы сводятся к одному и для него используется единая алгебраическая сетка.Второй положительный эффект такого подхода связан с минимизацией вычисления значений ядра уравнения Фредгольма II рода за счет применения схемы Горнера. В рабо те рассмотрены два способа выбора чисто-вещественного алгебраического поля. Первый способ основан на задании неприводимого многочлена с целыми коэффициентами, у которого все корни — вещественные числа. Второй способ основан на использовании башниквадратичных полей.При обоих способах выбора чисто-вещественного алгебраического поля нам удалось использовать алгебраическую сетку большой размерности для интегрирования функции меньшего числа переменных. Важную роль при этом сыграла весовая функция, которая позволяет заменить интеграл от функции из класса 𝐸𝛼𝑠 по кубу 𝐺𝑠 на интеграл от функции из класса 𝐸𝛼,0 𝑠 [−1, 1] по кубу 𝐾𝑠. При этом важно отметить, что новая функция обращается в ноль на границе этого куба.
The paper is a new edition of the authors’ previous work on this topic. A significant improvement in the results of the previous article is associated with the use of weight functions for the transition from an integral of lower to higher dimension.Such a transition turned out to be necessary to obtain new estimates of the error of the approximate solution of the Fredholm integral equation of the second kind by the iteration method using algebraic grids.The essence of this approach is that in the approximate calculation of the solution of the Fredholm integral equation of the second kind, a partial sum of the Neumann series consisting of integrals of different multiplicities is used. When using different algebraic grids corresponding to different purely real fields and one stretching parameter, it turns out that for a lower dimension, a smaller number of nodes of the algebraic grid will be used, and therefore the accuracy of the calculation will be lower. In order not to solve the complex problem of optimizing the number of nodes for different dimensions, this paper proposes an approach in which all integrals are reduced to one and a single algebraic grid is used for it. The second positive effect of thisapproach is related to the minimization of the calculation of the values of the kernel of the Fredholm equation of the second kind due to the use of Horner’s scheme.The paper considers two methods for choosing a purely real algebraic field. The first method is based on specifying an irreducible polynomial with integer coefficients, all of whose roots are real numbers. The second method is based on using a tower of quadratic fields.
With both methods of choosing a purely real algebraic field, we were able to use a large dimensional algebraic grid to integrate a function of a smaller number of variables. An important role in this was played by the weight function, which allows replacing the integral of a functionfrom the class 𝐸𝛼 𝑠 over the cube 𝐺𝑠 with the integral of a function from the class 𝐸𝛼,0 𝑠 [−1, 1] over the cube 𝐾𝑠. It is important to note that the new function goes to zero on the boundary of this cube.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.