кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра функционального анализа и дифференциальных уравнений, Таджикский национальный университет, Душанбе
Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Senior Lecturer, Department of Functional Analysis and differential equations
В статье вычислены точные значения различных поперечников в пространстве Bq,γ ,1 ≤ q ≤ ∞ с весом γ классов W(r) q,a (Φ, μ). Эти классы состоят из функций f, аналитических в круге UR := {z : |z| ≤ R}(0 < R ≤ 1), у которых производные r(r ∈ N)-го порядка по аргументу f(r) a принадлежат пространству Bq,γ(1 ≤ q ≤ ∞, 0 < R ≤ 1), и имеют усредненные модули гладкости второго порядка, мажорируемые заданной функцией Φ, прич¨ем всюду далее предполагается, что Φ(t), t ≥ 0 есть произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Φ(0) = 0. Доказаны точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в единичном круге функций и интегралами, содержащими усредн¨енное значение модуля гладкости второго порядка производной r-го порядка функции с конкретным весом, вытекающей из содержательного смысла постановки самой задачи. Полученный результат гарантирует вычисление точных значений бернштейновских и колмогоровских поперечников. Метод приближения, полученный при оценке сверху n-поперечника Колмогорова, опирается на оценке модуля гладкости комплексных полиномов, ранее доказанной Л. В. Тайковым. Особый интерес представляет задача построения наилучших линейных методов приближения классов функций W(r) q,a (Φ, μ) и связанные с этой задачей вычисления точных значений линейных и гельфандовских n-поперечников. Найденные наилучшие линейные методы зависят от заданного числа μ ≥ 1 и, в частности, при μ = 1 содержат ранее известные результаты. Также указаны в явном виде оптимальные подпространства заданной размерности, реализующие значения поперечников.
In this paper the exact values of different widths in the space Bq,γ , 1 ≤ q ≤ ∞ with the weight γ for classes W(r) q,a (Φ, μ) were calculated. These classes is consist from functions f, which are analytic in a circle UR := {z : |z| ≤ R} (0 < R ≤ 1) whose n(n ∈ N)-th derivatives by argument f(r) a is belong to the space Bq,γ(1 ≤ q ≤ ∞, 0 < R ≤ 1) and have an averaged modulus of smoothness of second order majorized by function Φ, and everywhere further assumed that the function Φ(t), t > 0 is an arbitrary function that Φ(0) = 0. The exact inequalities between the best polynomial approximation of analytic functions in a unit disk and integrals consisted from averaged modulus of smoothness of second order functions with r-th derivatives order and concrete weight which is flow out from substantial meaning of problem statement. The obtained result is guarantee to calculate the exact values of Bernshtein and Kolmogorov’s widths. Method of approximation which is used for obtaining the estimation from above the Kolmogorov n-width is learn on L. V. Taykov work which earlier is proved for modulus of smoothness of complex polynomials. The special interest is offer the problem about constructing the best linear methods of approximation of classes functions W(r) q,a (Φ, μ) and connected to it the problem in calculating the exact values of Linear and Gelfand n-widths. The founded best linear methods is depend on given number μ ≥ 1 and in particular when μ = 1 is contain the previous proved results. Also showed the explicit form an optimal subspaces given dimension which are implement the values of widths.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.