Титсом доказано, что для любой конечно порожденной линейной группы G справедливо утверждение: либо группа G содержит подгруппу, изоморфную свободной группе F2 ранга 2, либо группа G почти разрешима. Это привело к понятию альтернатива Титса для класса групп: для класса групп C выполняется альтернатива Титса, если для произ- вольной группы G из этого класса справедливо утверждение: либо группа G почти разрешима, либо она содержит подгруппу, изоморфную свобод- ной группе F2 ранга 2. Изучению классов групп, для которых справедлива альтернатива Титса, посвящен ряд работ. Альтернатива Титса связана со следующим вопросом, достаточно давно и независимо изучавшимся в комбинаторной теории групп: для каких классов групп справедливо утверждение: для произвольной группы G из этого класса справедлива альтернатива: либо на группе G выполняется нетривиальное тождество, либо она содержит подгруппу, изоморфную свободной группе F2 ранга 2. Для подгрупп групп с одним определяющим соотношением последний вопрос полностью исследован в работах Д. И. Молдаванского, А. А. Че- ботаря, А. Карраса и Д. Солитэра. Для групп, удовлетворяющих условиям малого сокращения, рассмат- риваемый вопрос изучен в работах В. П. Классена при описании подгрупп этих групп. В известной монографии Р. Линдона и П. Шуппа дано полное описание абелевых подгрупп произвольных F-групп. В настоящей работе усиливается этот результат: дается описание подгрупп F-групп, на которых выполняется нетривиальное тождество и устанавливается справедливость альтернативы Титса для подгрупп F-групп. Более точно, доказывается, что для подгрупп фуксовых групп выполняется усиленный вариант альтернативы Титса: произвольная подгруппа H фуксовой группы либо является разреши- мой ступени 6 3 или знакопеременной группой A(5), либо H содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга 2, на подгруппе H произвольной фуксовой группы G не выполняется нетривиальное тождество тогда и только тогда, когда H содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга 2.
Tits proved that for any finitely generated linear group G, the following statement holds: G is either solvable-by-finite, or it contains a subgroup isomorphic to the free group F2 of rank 2. This leads to the concept of the Tits’ alternative for a class of groups: For a class C of groups the Tits’ alternative holds, if an arbitrary group G from this class is either solvable-by-finite, or it contains a subgroup isomorphic to the free group F2 of rank 2. A number of works have addressed the studying of the classes of groups for which the Tits’ alternative holds. The Tits’ alternative is related to the following problem which has been independently studying for a long time in combinatorial group theory: Find the class of groups possessing the following property: for an arbitrary group G from this class, the following alternative holds: either a non-trivial identity holds on the group G, or G contains a subgroup isomorphic to the free group F2 of rank 2. For subgroups of the groups with one defining relation, this problem was fully studied by D. I. Moldavanskii, A. A. Chebotar’, A. Karrass and D. Solitar. For groups satisfying small cancellation conditions, this problem was studied by V. P. Klassen in describing the subgroups of such groups. The full description of Abelian subgroups of arbitrary F-groups is given in the famous monograph by R. Lindon and P. Schupp. In the present work, this result is strengthened: we give a description of subgroups of F-groups, on which a non-trivial identity holds and prove the Tits alternative for subgroups of F-groups. More accurately, we prove that for the subgroups of Fuchsian groups, the strengthened variant of the Tits’ alternative holds: An arbitrary subgroup H of a Fuchsian group either is solvable group of degree 6 3 or alternating group A(5), or H contains a subgroup isomorphic to the free group of rank 2, No non-trivial identity does hold on a subgroup H of an arbitrary Fuchsian group G if and only if H contains a subgroup isomorphic to the free group F2 of rank 2.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.