chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-5-262-276cheb-1885Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceМасштабные эффекты микрополярной среды в задаче о кручении цилиндрического телаSize effects of micropolar medium in problem on the cylindrical body torsionРомановАлександр ВячеславовичRomanovAlexander Vyacheslavovichatomicra@ya.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202420012025255262276Copyright © Романов А.В., 20252025Романов А.В.Romanov A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1885

Для решения некоторых краевых задач микрополярной теории упругости в работе формулируется вариационный принцип Лагранжа в обобщённых кинематических полях применительно к материалам с центром симметрии произвольной анизотропии[5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]. Используя метод Ритца краевая задача приводится к тензорно-блочной системе линейных алгебраических уравнений. Для чего искомые кинематические векторные поля перемещений и микровращений раскладываются в ряд по базисным кусочно-полиномиальными функциям лагранжева(8-узлового КЭ) и серендипова (20-узлового КЭ) семейства[8, 14]. Для улучшения аппроксимации лагранжевыми многочленами(8-узлового КЭ), в том числе для почти несжимаемой среды, использован обобщенный метод редуцированного и селективного интегрирования[11]. Апробация построенной математической модели выполняется на задаче о кручении изотропного цилиндрического тела в рамках классической и микрополярной теории упругости с демонстрацией масштабного эффекта,в том числе по результатам экспериментальных данных [18]. Представлено сравнение полученного численного решения с аналитическим решением Сен-Венана[3] симметричной теории упругости; с аналитическим решением Готье, Ясмана[15, 16] и численным решением авторов [7] для микрополярной среды; с результатами эксперимента Лейкса[18]. При задании интегральных граничных условий(момента) на торцевой поверхности цилиндрического тела было использовано аналитическое распределение касательных и моментных напряжений [3, 15, 16].

In this paper, a variational principle of Lagrange of micropolar theory of elasticity is formulated for a some boundary-value problems. Anisotropic, isotropic and centrally symmetric material are considered. The Ritz method is used to obtain a system of linear algebraic equations in a form of the tensor-block stiffness matrices. The macro-displacement and the micro-rotation are expressed as a sum of products of shape functions and the generalized kinematic nodal fields. For effective approximation of the nearly incompressible micropolar material the generalizedmethod of reduced and selective integration is used. For testing of described variational model the cylinder torsion problem of the classical and micropolar media is considered. Micropolar continuum exhibit substantial size effects in torsion(and bending)[18]: slender specimens are more rigid than anticipated via classical elasticity. Analytical solution which satisfy integral condition of torsion on the end faces is used.

задача о кручениимикрополярная средаконтинуум Коссерамоментная теория упругостивариационный принциптензор изгиба-кручениятензор моментных напряженийметод конечных элементовматрица жесткостиредуцированное и селективное интегрированиемасштабный эффект крученияотносительная жёсткость.torsion problemmicropolar continuumCosserat continuumcouple stress theoryvariational principlerotation gradient tensorcouple stress tensorfinite element methodstiffness matrixreduced and selective integrationsize effect of torsionrelative stiffness.ReferencesПобедря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд // М.: Изд-во МГУ, 1995.Pobedrya, B.E. 1995, “Chislennue metody v teorii uprugosti i plastichnosti: Uch. posobue, 2-e izd.”, M.: Izd-vo MGU.Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач // М.: Мир, 1980.Ciarlet, P. 1978, “The finite element method for elliptic problems”, New York, Oxford.Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. 6-е изд. // СПб.: Лань. 2004.Sedov, L.I. 2004, “Mehanica sploshnoj sredu”, Spb.: Lanj,Vol.2 6-e izd.Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975.Nowacki, W. 1975, “Teoria uprugosti”, M.: Mir.Никабадзе М.У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. М.: Изд-во МГУ имени М.В. Ломоносова, 2023.Nikabadze, M.U. 2023, “Razvitie metoda ortogonalnuh polinomov v mehanike micropolyarnuh i klassicheskih uprugih tonkih tel”, M.: Izd-vo MGU imeny M.V. Lomonosova.Nowacki W. Theory of micropolar elasticity. Vienna: Springer-Verlag; 1972.Nowacki, W. 1972, “Theory of micropolar elasticity”, Vienna, Springer-Verlag.Eringen A. Microcontinuum field theories: I. Foundations and solids. New York: Springer-Verlag; 2012.Eringen, A. 2012, “Microcontinuum field theories: I”, Foundations and solids. New York:Романов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае трансверсально–изотропной среды.// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2022. № 4. с. 35-39. URL: https://doi.org/10.3103/S0027133022040045Springer-VerlagРоманов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае ортотропной среды.// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 1. с. 68-72. URL: https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-2023-1-68-72Romanov, A.V. 2022, “A Variational Principle of Lagrange of the Micropolar Theory ofРоманов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости при неизотермических процессах.// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 2. с. 64-68.Elasticity in the Case of Transversely Isotropic Medium”, Moscow Univ. Mech. Bull., 77, pp.URL: https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-64-4-12-–98. URL: https://doi.org/10.3103/S0027133022040045Романов А.В. Применение метода редуцированного и селективного интегрирования в задачах микрополярной теории упругости. // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2024. № 1. с. 65-69. URL: https://dx.doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-8Romanov, A.V. 2023, “On the Variational Principle of Lagrange of the Micropolar ElasticityNikabadze M.U. Topics on tensor calculus with applications to mechanics // J. Math. Sci. 2017. 225, N 1. URL: https://doi.org/10.1007/s10958-017-3467-4Theory in the Case of Orthotropic Medium”, Moscow Univ. Mech. Bull., 78, pp. 23-–28. URL:Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. – М.: Ленанд, 2018. 208 с.https://doi.org/10.3103/S0027133023010041Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis andRomanov, A.V. 2023, “On the Variational Principle of Lagrange in the Micropolar Theory ofFundamentals. 7th ed. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2013.Elasticity at Nonisothermal Processes”, Moscow Univ. Mech. Bull., 78, pp. 114—118. URL:Gauthier R. D., Analytical and Experimental Investigations in Linear Isotropic Micropolarhttps://doi.org/10.3103/S0027133023040052Elasticity. Doctoral dissertation, University of Colorado, 1974.Romanov, A.V. 2024, “Reduced and selective integration method for micropolar theory ofGauthier R, Jahsman W. A quest for micropolar elastic constants. J Appl Mech 1975; 42(2): 369 – 74. URL: https://doi.org/10.1115/1.3423583elasticity”, Moscow Univ. Mech. Bull., № 1. pp. 65–69. https://dx.doi.org/10.55959/Grbˇci´c S., Ibrahimbegovi´c A., Jeleni´c G. Variational formulation of micropolar elasticityMSU0579-9368-1-65-1-8using 3D hexahedral finite-element interpolation with incompatible modes. 2018. URL:Nikabadze, M.U. 2017, “Topics on tensor calculus with applications to mechanics”, J. Math. Sci., 225, № 1. URL: https://doi.org/10.1007/s10958-017-3467-4https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2018.04.005Pobedrya, B.E., Georgievsky D.V. 2018, “Lekcii po teorii uprugosti”, M.: Lenland, 208 p.Rueger Z., Lakes R. S. Experimental Cosserat elasticity in open cell polymer foam. //Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., Zhu, J.Z. 2013, “The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals”, Oxford: Butterworth-Heinemann, 7th ed.Philosophical Magazine, 96 (2), 93-111, January 2016. URL: https://doi.org/10.1080/Gauthier, R. D., Analytical and Experimental Investigations in Linear Isotropic Micropolar2015.1125541Elasticity. Doctoral dissertation, University of Colorado, 1974.Gauthier, R, Jahsman, W. 1975, “A quest for micropolar elastic constants”, J. Appl. Mech., 42(2):369–74. URL: https://doi.org/10.1115/1.3423583Gauthier, R, Jahsman, W. 1975, “A quest for micropolar elastic constants”, J. Appl. Mech., 42(2):369–74. URL: https://doi.org/10.1115/1.3423583Grbˇci´c, S., Ibrahimbegovi´c, A., Jeleni´c, G. 2018, “Variational formulation of micropolarGrbˇci´c, S., Ibrahimbegovi´c, A., Jeleni´c, G. 2018, “Variational formulation of micropolarelasticity using 3D hexahedral finite-element interpolation with incompatible modes”. URL:elasticity using 3D hexahedral finite-element interpolation with incompatible modes”. URL:https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2018.04.005https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2018.04.005Rueger, Z., Lakes, R. S. 2016, “Experimental Cosserat elasticity in open cell polymer foam”, Philosophical Magazine, 96 (2), pp. 93–111. https://doi.org/10.1080/14786435.2015.1125541Rueger, Z., Lakes, R. S. 2016, “Experimental Cosserat elasticity in open cell polymer foam”, Philosophical Magazine, 96 (2), pp. 93–111. https://doi.org/10.1080/14786435.2015.1125541

The authors declare that there are no conflicts of interest present.