кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
Доказано, что размерность группы Ли автоморфизмов (2𝑛 + 1)-мерного гладкого многообразия, наделённого параконтактной метрической структурой (𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔), не превосходит (𝑛 + 1)2, где 𝜂 – дифференциальная 1-форма, определяющая контактное 2𝑛-мерноераспределение 𝐻 = ker𝜂, 𝜉 – векторное поле Риба, 𝜙 – структурный эндоморфизм, 𝑔 – псевдориманова метрика, ограничение которой на контактное распределение 𝐻 имеет сигнатуру (𝑛, 𝑛). Анализ условий инвариантности параконтактной метрической структуры относительно инфинитезимальных автоморфизмов, а также используя атлас Дарбу, в каждой карте которого контактная форма 𝜂 имеет канонический вид, позволяет утверждать, что группа изотропий, индуцированная стационарной подгруппой точки 𝑝(0, ..., 0), вращает только векторы, лежащие в контактной плоскости 𝐻𝑝, и оставляет инвариантной псевдоевклидову метрику и симплектическую структуру, определяемую дифференциальной 2-формой Ω = 𝑑𝜂. Поэтому максимальная размерность алгебры Ли группы изотропий равна 𝑛2. Так как размерность подгруппы сдвигов не превосходит размерность многообразия, то размерность группы автоморфизмов не превосходит 𝑛2 + 2𝑛 + 1. В данной работе также доказано, что максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальныхавтоморфизмов равна (𝑛 + 1)^2. Примером параконтактного метрического многообразия,допускающего алгебру Ли инфинитезимальных автоморфизмов максимальной размерности, является обобщённая группа Гейзенберга, наделённая канонической парасасакиевойструктурой. Найдены базисные векторные поля этой алгебры.
It has been proved that the dimension of the Lie group of automorphisms of a (2𝑛 + 1)- dimensional smooth manifold endowed with the paracontact metric structure (𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔) does not exceed (𝑛+1)^2, where 𝜂 is a differential 1-form defining the contact 2𝑛-dimensional distribution 𝐻 = ker𝜂, 𝜉 is a Reeb vector field, 𝜙 is a structural endomorphism, 𝑔 is a pseudo-Riemannian metric whose restriction to the contact distribution 𝐻 has signature (𝑛, 𝑛). The analysis of the conditions for the invariance of the paracontact metric structure with respect to infinitesimal automorphisms, as well as using the Darboux atlas, in each chart of which the contact form𝜂 has a canonical form, allows us to state that the isotropy group induced by the stationary subgroup of the point 𝑝(0, ..., 0), rotates only vectors lying in the contact plane 𝐻𝑝, and leaves invariant the pseudo-Euclidean metric and the symplectic structure defined by the differential 2-form Ω = 𝑑𝜂. So the maximum dimension of the Lie algebra of the isotropy group is 𝑛^2. Since the dimension of the translation subgroup does not exceed the dimension of the manifold,the dimension of the automorphism group does not exceed 𝑛2 + 2𝑛 + 1. The paper also proves that the maximum dimension of the Lie algebra of infinitesimal automorphisms is equal to (𝑛 + 1)^2. An example of a paracontact metric manifold admitting a Lie algebra of infinitesimal automorphisms of maximum dimension is the generalized Heisenberg group endowed with a canonical para-Sasakian structure. The basis vector fields of this algebra are found.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.