chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-5-237-243cheb-1881Research ArticleКраткие сообщенияО накрытии множеств специального вида геометрическими прогрессиями с рядом некоторых ограниченийOn covering sets of a special type by geometric progressions with a certain restrictionsАшраповРафаэль МаратовичAshrapovRafael Maratovichashrapov41@gmail.comДергачПётр СергеевичDergachPeter Sergeevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

dergachpes@mail.ruфилиал Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова в г. ТашкентеУзбекистанBranch of the Lomonosov Moscow State University in TashkentUzbekistanМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202420012025255237243Copyright © Ашрапов Р.М., Дергач П.С., 20252025Ашрапов Р.М., Дергач П.С.Ashrapov R.M., Dergach P.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1881

В работе исследуется классическая задача о минимальном накрытии начала натурального ряда минимальным числом геометрических прогрессий с рядом некоторых ограничений(на начало прогрессии, на шаг прогрессии и на непересечение прогрессий). Среди схожих к ней задач следует отметить следующие задачи: о накрытии арифметических прогрессий геометрическими с действительнозначным шагом, о накрытии начала натурального ряда геометрическими прогрессиями с фиксированным числом членов, где шаг действительнозначен и о накрытии начала натурального ряда геометрическими прогрессиями с рациональным шагом. Таким образом, уникальность работы заключается в наличии ограничений на геометрические прогрессии и тем, что шаг является натуральным числом.Найдены оптимальные ответы для случаев, когда: ограничение на шаг равно 2, ограничение на шаг равно 2 и имеется запрет на пересечение, ограничение на начало равно 1. Были получены оценки снизу для случаев, когда: нет ограничений, есть ограничение на непересечение, есть ограничение на шаг равное 3. Были получены оценки сверху для случаев когда: нет ограничений, есть ограничение на непересечение.

The paper investigates the classic problem of covering the start of the natural number series with the minimum number of geometric progressions under various constraints (on the starting point, progression step, and non-intersection of progressions). Among similar problems, the following should be noted: covering arithmetic progressions with geometric progressions with real-valued steps, covering the start of the natural number series with geometric progressions with a fixed number of terms and a real-valued step, and covering the start of the naturalnumber series with geometric progressions with a rational step. Thus, the uniqueness of the work lies in the constraints imposed on geometric progressions, particularly that the step is a natural number. Optimal solutions were found for cases where: the step constraint is 2, the step constraint is 2 with a prohibition on intersection, and the starting point constraint is 1.Lower bounds were obtained for cases where: there are no constraints, there is a prohibition on intersection, and there is a step constraint of 3. Upper bounds were obtained for cases where: there are no constraints, and there is a prohibition on intersection.

геометрические прогрессиинатуральный рядкомбинаторная оптимизация.geometric progressionsnatural seriescombinatorial optimizationReferencesСанна, К. Накрытие арифметических прогрессий геометрическими и обратно // arXiv.Sanna, C. 2013, “Covering an arithmetic progression with geometric progressions and vice versa”, ArXiv, Available at: https://arxiv.org/pdf/1311.4331v1.URL: https://arxiv.org/pdf/1311.4331v1 (дата обращения: 23 июня 2024).Eberhard, S. 2014, “Covering a set with geometric progressions”, MathOverflow. Available at:Эберхард, С. Накрытие множества геометрическими прогрессиями // MathOverflow. 2014 URL: https://mathoverflow.net/q/173075 (дата обращения: 23 июня 2024).https://mathoverflow.net/q/173075 (Accessed: 23 June 2024).О’Брайан, K. Накрытие k-геометрическими прогрессиями // Сессии задач по комбинаторной и аддитивной теории чисел. 2014. с. 30. URL: https://arxiv.org/pdf/1406.3558v2 (дата обращения: 23 июня 2024).O’Bryant, K. 2014, “Covering by k-geometric progressions”, Combinatorial and additive number theory problem sessions, pp. 30. Available at: https://arxiv.org/pdf/1406.3558v2.Бухштаб, А. А. Теория чисел: Учебник для вузов // М.: Просвещение. 2013. С. 28, 38, 32.Bukhshtab, A. A. 2013, “Number theory: Textbook for universities”, Moscow: Prosveshenie, pp. 28, 38, 32.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.