chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-5-183-194cheb-1877Research ArticleСтатьиArticleНаилучшее совместное приближение некоторых классов функций в пространстве Бергмана 𝐵_2The best joint approximation of some classes of functions in the Bergman space 𝐵_2ХуромоновХуромон МамадамоновичKhuromonovKhuromon Mamadamonovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

khuromon@mail.ruМеждународный университет туризма и предпринимательства ТаджикистанаТаджикистанInternational University of Tourism and Entrepreneurship of TajikistanTajikistan202420012025255183194Copyright © Хуромонов Х.М., 20252025Хуромонов Х.М.Khuromonov K.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1877

В работе изучается ряд экстремальных задач, связанных с наилучшим совместным приближением некоторых классов аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности высших порядков в пространстве Бергмана 𝐵_2. Отметим, что впервые задача совместного приближения периодических дифференцируемых функций и их последовательных производных тригонометрическими полиномами и их соответствующими производными в равномерной метрике была исследована А.Л.Гаркави [1].Полученные в [1] результаты были обобщены А.Ф.Тиманом [2] на классе целых функцийэкспоненциального типа на всей прямой. В монографии [3] задачи совместного приближения обобщены на некоторых классических теоремах теории аппроксимации функций.Однако в перечисленных работах получены только асимптотически точные результаты.В данной работе доказан ряд точных теорем совместного приближения аналитическихв единичном круге функций, принадлежащих пространству Бергмана 𝐵_2, дополняющихрезультаты М.Ш. Шабозова [4].

In this paper, we study several extreme problems related to the best joint approximation of certain classes of analytical functions in the unit circle given by higher-order continuity modules in the Bergman space 𝐵_2. It should be noted that for the first time the problem of joint approximation of periodic differentiable functions and their consecutive derivatives by trigonometric polynomials and their corresponding derivatives in a uniform metric wasinvestigated by A.L.Garkavi [1]. The results obtained in [1] were generalized by A.F.Timan [2] for a class of integer functions of exponential type on the entire line. In the monograph [3].The problems of joint approximation are generalized to some classical theorems of the theory of approximation of functions. However, in the listed works, only asymptotically accurate results were obtained. In this paper, we prove a number of exact theorems for the joint approximation of analytic functions in the unit circle belonging to the Bergman space 𝐵_2, complementing the results of M.Sh.Shabozov [4].

совместное приближениемодуль непрерывности𝑛-поперечникимажорантапространство Бергмана.joint approximationmodulus of continuity𝑛-diametersmajorantBergman spaces.ReferencesГаркави А. Л. О совместном приближении периодической функции и ее производных тригонометрическими полиномами // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1960. Т. 24. № 1, С. 103–128.Garkavi, A. L. 1960, “On the joint approximation of a periodic function and its derivativesТиман А. Ф. К вопросу об одновременной аппроксимации функций и их производных на всей числовой оси // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1960. Т. 24. № 3. С. 421–430.trigonometric polynomials”, Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol. 24, no. 1, pp. 103–128 (InМалоземов Н. В. Совместное приближение функции и ее производных // ЛГУ. 1973.Russian).Шабозов М.Ш. О наилучшем совместном приближении функций в пространстве Бергмана 𝐵_2 // Матем. заметки. 2023. Т. 114. Вып. 3. С. 435–446.Timan, A. F. 1960, “On the issue of simultaneous approximation of functions and theirБабенко К. И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР. 1958. Т. 22. № 5. С. 631–640.derivatives on the entire number line”, Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol. 24, no. 3, pp.Тайков Л. В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических–430 (In Russian).функций // Матем. заметки. 1967. Т. 1. № 2. С. 155–162.Malozemov N. V. 1973, “Joint approximation of a function and its derivatives”. – LGU. 1973Тайков Л. В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1977. Т. 22. № 2. С. 285–295.(In Russian).Двейрин М. З., Чебаненко И. В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев. ИМ АН УССР. 1983.Shabozov, M. Sh. 2023, “On the Best Simultaneous Approximation in the Bergman Space 𝐵_2”, Math. Notes. vol. 114. issue. 3. pp. 435–446.Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // Докл. РАН. 2002. Т. 383. № 2. С. 171–174.Babenko, K. I. 1985, “On the best approximations of one class of analytic functions”, Izv. Acad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol. 22, no. 5, pp. 631–640 (In Russian).Вакарчук С. Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Матем. заметки. 1995. Т. 57. № 1. С. 30–39.Taikov L. V. 1967, “Best approximation in the mean of certain classes of analytic functions”, Math. Notes, vol. 1. no 2. pp. 104-109.Вакарчук С. Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1999. Т. 65. № 2. С. 186–193.Taikov L. V. 1977, “Diameters of certain classes of analytic functions”, Math. Notes, vol. 22, no. 2, С. 650–656.Вакарчук С. Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Матем. сб. 2010. Т. 201. № 8. С. 3–22.Dveyrin, M. Z. & Chebanenko, I. V. 1983, “On polynomial approximation in Banach spacesШабозов М. Ш., Кадамшоев Н.У. Точные неравенства между наилучшими среднеквадратическими приближениями аналитических в круге функций и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана // Матем. заметки. 2021. Т. 10. № 2. С. 266–281.analytical functions”, Theory of mappings and approximation of functions. Inst. Math. Acad.Шабозов М. Ш., Шабозова А. А. О совместном приближении некоторых классов функций в пространстве Бергмана 𝐵2 // Изв. вузов. Матем. 2024. № 6. С. 80–88.Nauk Ukrain. SSR, pp. 62–73 (In Russian).Вакарчук С.Б., Забутная В. И. Точное неравенство типа Джексона-Стечкина в 𝐿_2 и поперечники функциональных классов // Матем. заметки. 2009. Т. 86. № 3. С. 328–336.Shabozov, M. Sh. 2002, “Widths of some classes of analytic functions in space Bergman”, Dokl. RAN. vol. 383, no 2, pp. 171–174 (In Russian).Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А., Заргаров Дж. Дж. О наилучшей совместной полиномиальной аппроксимации функций и их производных в пространстве Харди // Труды ИММ УрО РАН. 2021. Т. 27. № 4. С. 240–256.Vakarchuk, S. B. 1995, “Best linear methods of approximation and widths of classes of analytic functions in a disk”, Math. Notes, vol. 57, no 1. pp. 21–27.Шабозов М.Ш. О наилучшем совместном приближении функций в пространстве Харди // Тр. ИММ УрО РАН. 2023. Т. 29. № 4. С. 283–291.Vakarchuk, S. B. 1999, “On the best linear approximation methods and the widths of certain classes of analytic functions”, Math. Notes, vol. 65. no 2. pp. 153–158.Шабозов М. Ш., Саидусайнов М. С. Среднеквадратическое приближение функций комплексного переменного суммами Фурье по ортогональным системам // Труды ИММ УрО РАН. 2019. Т. 25. № 2. С. 258–272.Vakarchuk S. B. & Shabozov M. Sh. 2010, “The widths of classes of analytic functions in a disc”, Sb. Math., vol. 201, no 8. pp. 1091–1110.Foucart S., Kryakin Yu., Shadrin A. On the exact constant in the Jackson-Stechkin inequality for the uniform metric // Constr. Approx. 2009. V. 29. PP. 157–179.Shabozov, M. Sh. & Kadamshoev, N. U. 2021, Sharp Inequalities between the Best Root-Mean-Square Approximations of Analytic Functions in the Disk and Some Smoothness Characteristics in the Bergman Space, Math. Notes, vol. 10. no 2. pp. 248–260.Тайков Л. В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из 𝐿_2 // Матем. заметки. 1976. Т. 20. № 3. С. 433–438.Shabozov, M. Sh. & Shabozova, A. A. 2024, “On simultaneous approximation of certain classes of functions in the Bergman space 𝐵2”, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., no. 6, pp. 80–88.Pinkus А. 𝑛-Widths by Approximation Theory. Berlin: Springer. 1985.Vakarchuk, S. B. & Zabutnaya, V. I. 2009, “A Sharp Inequality of Jackson–Stechkin type in 𝐿_2 and the Widths of Functional Classes”, Math. Notes, vol. 86, no 3. pp. 306–313.Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений // М: МГУ. 1976. 325 C.Shabozov, M. Sh. & Yusupov, G. A. & Zargarov, J. J. 2021, “On the best simultaneousШабозов М. Ш., Вакарчук С. Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в 𝐿_2 // Analysis Mathematica. 2012. V. 38. PP. 147–159.polynomial approximation of functions and their derivatives in Hardy spaces”, Trudy InstitutaMatematiki i Mekhaniki UrO RAN, vol. 27, no 4. pp. 239–254.Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, vol. 27, no 4. pp. 239–254.Shabozov, M. Sh. 2023, “On the best simultaneous approximation of functions in the Hardy space”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, vol. 29. no 4. pp. 283–291.Shabozov, M. Sh. 2023, “On the best simultaneous approximation of functions in the Hardy space”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, vol. 29. no 4. pp. 283–291.Shabozov, M. Sh. & Saidusaynov, M. S. 2019, “Mean-square approximation of functions of a complex variable by Fourier sums in orthogonal systems”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, vol. 25, no 2. pp. 258–272.Shabozov, M. Sh. & Saidusaynov, M. S. 2019, “Mean-square approximation of functions of a complex variable by Fourier sums in orthogonal systems”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, vol. 25, no 2. pp. 258–272.Foucart, S. & Kryakin, Yu.& Shadrin. 2009, “A. On the exact constant in the Jackson-Stechkin inequality for the uniform metric”, Constr. Approx., vol. 29. pp. 157–179.Foucart, S. & Kryakin, Yu.& Shadrin. 2009, “A. On the exact constant in the Jackson-Stechkin inequality for the uniform metric”, Constr. Approx., vol. 29. pp. 157–179.Taikov, L. V. 1976, “Inequalities containing best approximations and the modulus of continuity of functions in 𝐿_2”, Math. Notes, vol. 20, no 3, pp. 797–800.Taikov, L. V. 1976, “Inequalities containing best approximations and the modulus of continuity of functions in 𝐿_2”, Math. Notes, vol. 20, no 3, pp. 797–800.Pinkus,А. 1985, “𝑛-Widths by Approximation Theory”, Berlin: Springer.Pinkus,А. 1985, “𝑛-Widths by Approximation Theory”, Berlin: Springer.Tikhomirov, V. M. 1976, “Some questions of approximation theory”, MGU., 325 p (In Russian).Tikhomirov, V. M. 1976, “Some questions of approximation theory”, MGU., 325 p (In Russian).Shabozov, M. Sh. & Vakarchuk, S. B. 2012, “On the best approximation of periodic functions by trigonometric polynomials and the exact values of widths of function classes in 𝐿_2”, Analysis Mathematica, vol. 38. pp. 147–159.Shabozov, M. Sh. & Vakarchuk, S. B. 2012, “On the best approximation of periodic functions by trigonometric polynomials and the exact values of widths of function classes in 𝐿_2”, Analysis Mathematica, vol. 38. pp. 147–159.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.