chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-5-164-182cheb-1876Research ArticleСтатьиArticleПолная классификация двух классов двумерных 𝑃𝐼-алгебр над любым основным полемComplete classification of two classes of two-dimensional PI-algebras over any basic fieldРахимовИсамиддин СаттаровичRakhimovIsamiddin Sattarovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

isamiddin@uitm.edu.myДжамильХакимJamilHakim

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

mohdhakim@uitm.edu.myМохдНасир Рини НариниMohdNasir Rinie Narinie

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

rinie@uitm.edu.myКолледж вычислительных технологий, информатики и математики; Университет Технологии МАРА (г. Шах-Алам, Малайзия); Институт математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан (Узбекистан).УзбекистанCollege of Computing, Informatics and Mathematics; Universiti Teknologi MARA (Shah Alam, Malaysia); V.I.Romanovskiy Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan (Uzbekistan).UzbekistanКолледж вычислительных технологий, информатики и математики; Университет Технологии МАРАМалайзияCollege of Computing, Informatics and Mathematics; Universiti Teknologi MARAMalaysia202420012025255164182Copyright © Рахимов И.С., Джамиль Х., Мохд Н.Р., 20252025Рахимов И.С., Джамиль Х., Мохд Н.Р.Rakhimov I.S., Jamil H., Mohd N.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1876

В статье дана полная классификация двух классов двумерных 𝑃𝐼-алгебр над любым основным полем. Выбор этих двух классов обусловлен полиномиальными тождествами классов: тождество одного из них дается с помощью бинарной операции алгебры, а другого - с помощью скобочной операции в тождестве. Приведен список представителей классовизоморфизма. Мы сравниваем наш список со списком, полученным ранее, где подобнаяклассификация была дана при определенных ограничениях на основное поле.

In the paper we give complete classification of two classes of two-dimensional 𝑃𝐼-algebras over any basic field. The choice of these two classes is predicted by the polynomial identities of the classes: the identity of one of them is given by using the binary operation of the algebra another one involves the bracket operation in the identity. The list of the representatives of isomorphism classes are provided. We compare our list with that obtained earlier, where such a classification was given under certain constraints on the basic field.

алгебра с правильно определёнными кубамисмещенная ассоциативная алгебраизоморфизмклассификация.well-defined cube algebramixed associative algebraisomorphismclassification.ReferencesАхмед Х., Бекбаев У., Рахимов И. Полная классификация двумерных алгебр // AIPAhmed, H., Bekbaev, U., Rakhimov, I. 2017, “Complete classification of two-dimensionalConference Proceedings. 2017. Т. 1830. С. 070016. URL: https://arxiv.org/abs/1702.08616.algebras”, AIP Conference Proceedings, 1830, pp. 070016. https://arxiv.org/abs/1702.08616.Ахмед, Х., Бекбаев, У., Рахимов, И. О некоторых тождественных выражениях для двумерных алгебр // Лобачевский журнал математики. 2020. Т. 41. № 9. С. 1615–1629.Ahmed, H., Bekbaev, U., Rakhimov, I. 2020, “On identities on two-dimensional algebras”,Ахмед, Х., Бекбаев, У., Рахимов, И. Подалгебры, идемпотенты, идеалы и квази-единицы двумерных алгебр // Международный журнал алгебры и вычислений. 2020. Т. 30. № 5. С. 903–929.Lobachevskii Journal of Mathematics, 41(9), pp. 1615–1629.Альбеверио, С., Омиров, Б.А., Рахимов И. Классификация 4-мерных нилпотентных комплексных лейбницевых алгебр // Extracta Mathematicae. 2006. Т. 21. № 3. С. 197–210.Ahmed, H., Bekbaev, U., Rakhimov, I. 2020, “Subalgebras, idempotents, ideals and quasi-units of two-dimensional algebras”, International Journal of Algebra and Computation, 30(5), pp. 903–929.Бекбаев, У. Классификация двумерных алгебр над любым базовым полем // Труды конференции AIP. 2023. Т. 2880. С. 030001. DOI: 10.1063/5.0165726.Albeverio, S., Omirov, B.A., Rakhimov, I. 2006, “Classification of 4-dimensional nilpotentКасас, Х.-М., Инсуa, М., Ладра, М., Ладра, С. Алгоритм классификации 3-мерных ком-complex Leibniz algebras”, Extracta Mathematicae, 21(3), pp. 197–210.плексных лейбницевых алгебр // Линейная алгебра и её приложения. 2012. Т. 9. С. 3747–3756.Bekbaev, U. 2023, “Classification of two-dimensional algebras over any basic field”, AIPДемир, И., Мисра, К.Ч., Штицингер, Э. Классификация некоторых разрешимых лейбницевых алгебр // Алгебры и теории представлений. 2016. Т. 19. С. 405–417.Conference Proceedings, 2880, pp. 030001, https://doi.org/10.1063/5.0165726.Гозе, М., Ремм, Э. 2-мерные алгебры // Африканский журнал математической физики.Casas, J.-M., Insua, M., Ladra, M., Ladra, S. 2012, “An algorithm for the classification of 3-Т. 10. С. 81–91.dimensional complex Leibniz algebras”, Linear Algebra and its Applications, 9, pp. 3747–3756.Джекобсон, Н. Алгебры Ли // Нью-Йорк: Издательство Интерсайенс. 1962.Demir, I., Misra, K.C., Stitzinger, E. 2016, “Classification of Some Solvable Leibniz Algebras”, Algebras and Representation Theory, 19, pp. 405–417.Кашуба, И., Мартин, М. Э. Геометрическая классификация нильпотентных алгебр Жордана размерности пять // Журнал чистой и прикладной алгебры. 2017. DOI: 10.1016/j.jpaa.2017.04.018.Goze, M., Remm, E. 2011, “2-dimensional algebras”, African Journal of Mathematical Physics, 10, pp. 81–91.Кайгородов, И., Волков, Ю. Разнообразие 2-мерных алгебр над алгебраически замкнутым полем // Канадский журнал математики. 2019. 71(4). С. 819–842.Jacobson, N. 1962, Lie Algebras, (Interscience Publishers, Wiley, New York).Кобаяси, Я., Шираянаги, К., Цукада, М., Такахаси, С.Э. Полная классификация трех-Kashuba, I., Martin, M.E. 2017, “Geometric classification of nilpotent Jordan algebras ofмерных алгебр над 𝑅 // Азиатско-европейский журнал математики. 2021. Т. 14. № 8. С.dimension five”, Journal of Pure and Applied Algebra, DOI:10.1016/j.jpaa.2017.04.018.DOI: 10.1142/S179355712150131X.Kaygorodov, I., Volkov, Y. 2019, “The variety of 2-dimensional algebras over an algebraically closed field”, Canadian Journal of Mathematics, 71(4), pp. 819–842.Худойбердиев, А.Х., Рахимов, И.С., Сайд Хусейн, Ш.К. О классификации 5-мерных разрешимых лейбницевых алгебр // Линейная алгебра и её приложения. 2014. Т. 457. С. 428–454.Kobayashi, Y., Shirayanagi, K., Tsukada, M., Takahasi, S.E. 2021, “A complete classification of three-dimensional algebras over R”, Asian-European Journal of Mathematics, 14(8), pp. 2150131, DOI:10.1142/S179355712150131X.Маццола, Г. Алгебраическая и геометрическая классификация ассоциативных алгебр размерности пять // Математическая рукопись. 1979. Т. 27. С. 1–21.Khudoyberdiyev, A.Kh., Rakhimov, I.S., Said Husain, Sh.K. 2014, “On classification of 5-Морозов, В.В. Классификация нилпотентных ли-алгебр размерности 6 // Изв. высш.dimensional solvable Leibniz algebras”, Linear Algebra and its Applications, 457, pp. 428–454.учебн. зав. Мат. 1958. № 4:5. С. 161–170.Mazzola, G. 1979, “The algebraic and geometric classification of associative algebras ofМубаракджанов, Г.М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. высш. учебн. зав. Мат. 1963. № 32(1). С. 114–123.dimension five”, Manuscripta Math., 27, pp. 1–21.Мубаракджанов, Г.М. Классификация вещественных структур ли-алгебр пятого порядка // Изв. высш. учебн. зав. Мат. 1963. № 34(3). С. 99–106.Morozov, V.V. 1958, “Classification of nilpotent Lie algebras of dimension 6”, Isv. Vysch.Мубаракджанов, Г.М. Классификация разрешимых алгебр Ли шестого порядка с ненилпотентными базисными элементами // Изв. высш. учебн. зав. Мат. 1963. № 35(4). С. 104–116.Uchebn. Zaved. Mat., 4:5, pp. 161–17 (in Russian).Петерссон, Х.П. Классификация двумерных неассоциативных алгебр // Result. Math.Mubarakzjanov, G.M. 1963, “On solvable Lie algebras”, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 32(1), pp. 114–123 (in Russian).Т. 3. С. 120–154.Mubarakzjanov, G.M. 1963, “Classification of real structures of Lie algebras of fifth order”, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 34(3), pp. 99–106 (in Russian).Mubarakzjanov, G.M. 1963, “Classification of solvable Lie algebras of sixth order with nonnilpotent basis elements”, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 35(4), pp. 104–116 (in Russian).Mubarakzjanov, G.M. 1963, “Classification of solvable Lie algebras of sixth order with nonnilpotent basis elements”, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 35(4), pp. 104–116 (in Russian).Petersson, H.P. 2000, “The classification of two-dimensional nonassociative algebras”, Result. Math., 3, pp. 120–154.Petersson, H.P. 2000, “The classification of two-dimensional nonassociative algebras”, Result. Math., 3, pp. 120–154.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.