chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-5-140-163cheb-1875Research ArticleСтатьиArticleО рациональных аппроксимациях одного сингулярного интеграла на отрезке суммами Абеля – ПуассонаOn rational approximations of a singular integral on a segment by Abel — Poisson sumsПоцейкоПавел ГеннадьевичPotseikoPavel Gennad’evich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

paha-mat@yandex.ruГродненский государственный университет им. Янки КупалыБеларусьYanka Kupala State University of GrodnoBelarus202420012025255140163Copyright © Поцейко П.Г., 20252025Поцейко П.Г.Potseiko P.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1875

Изучаются рациональные аппроксимации на отрезке [−1, 1] сингулярных интегралов вида

Аппаратом приближений являются суммы Абеля – Пуассона рациональных интегральных операторов Фурье – Чебышёва, ассоциированные с системой рациональных функций Чебышёва – Маркова, с произвольным фиксированным количеством геометрически-различных полюсов. Установлено интегральное представление приближений. В случае, когда плотность сингулярного интеграла имеет степенную особенность, найдены оценки поточечных приближений, равномерных приближений с определенной мажорантой, ее асимптотическое выражение и оптимальные значения параметров, при которых мажоранта имеет наибольшую скорость убывания.Следствием полученных результатов являются оценки приближений сингулярных интегралов с плотностью, имеющей степенную особенность, суммами Абеля – Пуассона полиномиального ряда Фурье – Чебышёва.Получены оценки приближений сингулярных интегралов с плотностью, удовлетворяющей на отрезке [−1, 1] условию Липшица, суммами Абеля – Пуассона полиномиального ряда Фурье – Чебышёва. Особенностью найденных оценок является их зависимость от положения точки на отрезке. Причем на концах отрезка скорость является выше, чем в целом на отрезке.Установлено, что классы изучаемых сингулярных интегралов с плотностью, имеющей степенную особенность, в некоторых случаях отражают особенности рациональной аппроксимации в том смысле, что при специальном выборе параметров скорости равномерных рациональных приближений оказываются выше соответствующих полиномиальных аналогов.

Rational approximations on the segment [−1, 1] are studied of singular integrals of the form

The approximation apparatus is the Abel – Poisson sums of rational integral Fourier operators –Chebyshev associated with a system of rational Chebyshev – Markov functions, with an arbitraryfixed number of geometrically different poles. An integral representation of the approximationsis established. In the case when the density of the singular integral has a power-law singularity,estimates are found pointwise approximations, uniform approximations with a certain majorant,its asymptotic expression and optimal values of parameters at which the majorant has the highest rate of decrease.A consequence of the results obtained are estimates of approximations of singular integrals with density having a power-law singularity by Abel – Poisson sums of the polynomial Fourier – Chebyshev series.Estimates of approximations of singular integrals with a density satisfying the Lipschitz condition on the segment [−1, 1] by Abel – Poisson sums of the polynomial Fourier series – Chebyshev are established. The peculiarity of the estimates found is their dependence on the position of the point on the segment. Moreover, at the ends of the segment, the speed is higher than in the whole segment.It is established that the classes of studied singular integrals with a density having a powerlawsingularity in some cases reflect the features of rational approximation in the sense that with a special choice of the velocity parameters of uniform rational approximations they turn out to be higher than the corresponding polynomial analogues.

сингулярный интеграл на отрезкерациональный интегральный оператор Фурье – Чебышёвасуммы Абеля – Пуассонафункции со степенной особенностьюусловие Липшицаравномерные оценкиасимптотические оценки.Singular integral on a segmentRational integral Fourier – Chebyshev operatorAbel – Poisson sumsfunctions with power singularityLipschitz conditionuniform estimatesasymptotic estimates.Работа выполнена при финансовой поддержке государственной программы научных исследований «Конвергенция 2020», №20162269 (Республика Беларусь).ReferencesГахов Ф. Д. Краевые задачи // М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1958. 543 с.Gakhov, F. D. 1958, “Boundary value problems”, M.: State Publishing House of Physics and Mathematics. lit., 543 p., (in russian).Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. 3-е изд. // М.: Наука, 1968. 513 с.Muskhelishvili, N. I. 1968, “Singular integral equations. 3rd ed”, M.: Science, 513 p., (in russian).Моторный В. П. Приближение некоторых классов сингулярных интегралов алгебраическими многочленами // Укр. мат. жур. 2001. Т. 53, № 3. С. 331-345.Motorny, V.P., 2001, “Approximation of some classes of singular integrals by algebraicElliott D., Paget D. On the convergence of a quadrature rule for evaluating certain Cauchypolynomials”, Ukr. mat. Journal, vol. 53, no. 3, pp. 331-345, (in russian).principal value integrals // Numer. Math. 1975. Vol. 23, № 4. P. 311-319.Elliott, D., Paget, D., 1975, “On the convergence of a quadrature rule for evaluating certainШешко М. А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла // Изв. вузов. Матем. 1976. № 12. С. 108-118.Cauchy principal value integrals” Numer. Math., vol. 23, no 4. pp. 311-319.Хубежты Ш.С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром Коши //Sheshko, M. A., 1976, “On the convergence of quadrature processes for a singular integral”, Izv. vuzov. Matem., no. 12, pp. 108-118, (in russian).Владикавказский матем. жур. 2008. Т. 10, № 4. С. 61-75.Hubezhty, Sh. S., 2008, “Quadrature formulas for singular integrals with Cauchy kernel”,Саакян А. В. Квадратурные формулы типа Гаусса для сингулярных интегралов // Проблемы механики тонких деформируемых тел, посв. 80-летию акад. С. А. Амбарцумяна. Ереван. 2002. C. 259-265.Vladikavkazsky math. Jour., vol. 10, no. 4, pp. 61-75, (in russian).Габдулхаев Б. Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 1980. Т. 18. С. 251-307.Sahakyan, A. V., 2002, “Quadrature formulas of the Gauss type for singular integrals”,Русак В. Н. Равномерная рациональная аппроксимация сингулярных интегралов // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 1993. № 2. С. 22–26.«Problems of mechanics of thin deformable bodies», dedicated to the 80th anniversary ofБокша А. Н. Приближение сингулярных интегралов рациональными функциями в равномерной метрике // Вестн. Бел. гос. ун-та. Сер. 1. Физ. Мат. Инф. 1997. № 3. С. 68-71.Academician S.A.Ambartsumyan. Yerevan, pp. 259-265, (in russian).Русак В. Н., Уазис А. Х. Рациональная аппроксимация сингулярных интегралов с дифференцируемой плотностью // Изв. БГПУ. Сер 3. Физ. Матем. Инф. Биол. Геогр. 2009. № 1(59). С. 8-11.Gabdulkhaev, B. G., 1980, “Finite-dimensional approximations of singular integrals and direct methods for solving special integral and integro-differential equations”, Results of science and technology. Mat. anal., vol. 18, pp. 251-307, (in russian).Поцейко, П. Г., Ровба Е. А. О приближениях одного сингулярного интеграла на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье-Чебышева // Математический сборник. 2024. Т. 215. № 7. С. 96– 137.Rusak, V.N., 1993, “Uniform rational approximation of singular integrals”, Izv. NAS of Belarus. Ser. phys.-mat. sciences, no. 2, pp. 22–26, (in russian).Ровба Е. А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации // Докл. АН БССР. 1979. Т. 23, № 11. С. 968-971.Boksha, A. N. 1997, “Approximation of singular integrals by rational functions in a uniformНатансон И. П. О порядке приближения непрерывной 2𝜋-периодической функции при помощи ее интеграла Пуассона // Доклады АН СССР. 1950. Т. 72, № 1. С. 11-14.metric”, Vestn. Bel. gos. un. Ser. 1, Phys. Mat. Inf., no. 3, pp. 68-71, (in russian).Тиман А. Ф. Точная оценка остатка при приближении периодических дифференцируемых функций интегралами Пуассона // Доклады АН СССР. 1950. Т. 74, № 1. С. 17-20.Rusak, V. N., Uasis, A. H., 2009, “Rational approximation of singular integrals with differentiable density”, Izv. BSPU. Ser 3. Phys. Math. Inf. Biol. Geogr., no. 1(59), pp. 8-11, (in russian).Жук В. В. О порядке приближения непрерывной 2𝜋-периодической функции при помощи средних Фейера и Пуассона ее ряда Фурье // Математические заметки. – 1968. – Т. 4, № 1. – С. 21–32.Potseiko, P. G., Rovba, E. A., 2024, “Approximations of one singular integral on an interval by Fourier– Chebyshev rational integral operators”, Sb. Math., vol. 215, no. 7, pp. 953–992.Штарк Э. Л. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из Lip 1 от сингулярного интеграла Абеля – Пуассона // Математические заметки. 1973. Т. 13, № 1. С. 21–28.Rovba, E. A., 1979, “On one direct method in rational approximation”, Dokl. AN OF the BSSR, vol. 23, no. 11, pp. 968-971, (in russian).Русецкий Ю.И. О приближении непрерывных на отрезке функций суммами Абеля – Пуассона // Сибирский математический журнал. 1968. Т. 9, № 1. С. 136-144.Natanson, I.P., 1950, “On the order of approximation of a continuous 2𝜋-periodic function using its Poisson integral” Reports of the USSR Academy of Sciences, vol. 72, no. 1, pp. 11-14, (in russian).Жигалло Т. В. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица на конечном отрезке вещественной оси, интегралами Пуассона – Чебышёва // Проблемы управления и информатики. 2018. Т. 3. С. 1-14.Timan, A. F., 1950, “An accurate estimation of the remainder when approximating periodic differentiable functions by Poisson integrals”, Reports of the USSR Academy of Sciences vol. 74, no. 1, pp. 17-20, (in russian).Китбалян, А. А. Разложения по обобщенным тригонометрическим системам // Известия АН АССР. 1963. Т. XVI, № 6. С. 3-24.Zhuk, V. V., 1968, “On the order of approximation of a continuous 2𝜋-periodic function using Feyer and Poisson averages of its Fourier series”, Mathematical Notes, vol. 4, no. 1, pp. 21-32, (in russian).Джрбашян М. М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям // Известия АНStark, E. L., 1973, “Complete asymptotic decomposition for the upper face of the deviation of functions from Lip 1 from the singular integral of Abel – Poisson”, Mathematical notes, vol. 13, no. 1. pp. 21–28, (in russian).Армянской ССР. Сер. Математика. 1956. Т. 9, № 7. С. 1-27.Rusetsky, Yu. I., 1968, “On the approximation of continuous functions on a segment by Abel – Poisson sums”, Siberian Mathematical Journal vol. 9, no. 1, pp. 136-144, (in russian).Поцейко, П. Г., Ровба Е. А. О рациональных суммах Абеля – Пуассона на отрезке и аппроксимациях функций Маркова // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2021. Т. 3. С. 6-24.Zhigallo, T. V., 2018, “Approximation of functions satisfying the Lipschitz condition on a finite segment of the real axis by Poisson – Chebyshev integrals”, Problems of management and computer science, vol. 3. pp. 1-14, (in russian).Лунгу К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов // Математический сборник. 1971. Т. 86(128), № 2(10). С. 314-324.Kitbalyan, A. A., 1963, “Decompositions by generalized trigonometric systems”, Izvestiya AN ASSR, Vol. XVI, no. 6, pp. 3-24, (in russian).Лунгу К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов // Сибирский математический журнал. 1984. Т. 15, № 2. С. 151-160.Djrbashyan, M. M., 1956, “On the theory of Fourier series for rational functions”, Izvestiya AN of the Armenian SSR, Ser. matematika, vol. 9, no. 7, pp. 1-27, (in russian).Русак В. Н. Рациональный функции как аппарат приближения // Минск: БГУ, 1979. 178 с.Potseiko, P. G., Rovba, E. A., 2021, “On rational Abel – Poisson sums on a segment andapproximation of Markov functions”, Journal of the Belarusian State University. Mathematics.approximation of Markov functions”, Journal of the Belarusian State University. Mathematics.Computer science, vol. 3, pp. 6-24, (in russian).Computer science, vol. 3, pp. 6-24, (in russian).Lungu, K. N., 1971 “On the best approximations by rational functions with a fixed number of poles”, Mathematical collection, vol. 86(128), no 2(10), pp. 314-324, (in russian).Lungu, K. N., 1971 “On the best approximations by rational functions with a fixed number of poles”, Mathematical collection, vol. 86(128), no 2(10), pp. 314-324, (in russian).Lungu, K. N., 1984, “On the best approximations by rational functions with a fixed number of poles”, Siberian Mathematical Journal, vol. 15, no. 2, pp. 151-160.Lungu, K. N., 1984, “On the best approximations by rational functions with a fixed number of poles”, Siberian Mathematical Journal, vol. 15, no. 2, pp. 151-160.Rusak, V. N., 1979, “Rational functions as an approximation apparatus”, Mn.: BSU, 178p.Rusak, V. N., 1979, “Rational functions as an approximation apparatus”, Mn.: BSU, 178p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.