доктор философии по математике
PhD in mathematics
В теории чисел группы классов форм были введены Гауссом для бинарных квадратичных форм. Гаусс ввел понятия эквивалентности и композиции и определил групповую структуру во множестве классов эквивалентности в семействе квадратичных форм с дискриминантами, не делящимися на квадрат целого числа. Дальнейшие исследования были развиты в разных направлениях. Одним из них является обобщение теории на квадратичные формы от большего числа переменных, где широко изучены вопросы, связанные с представлением целых чисел различными квадратичными формами. Другое направление относится к понятию композиции. Однако с ростом количества переменных становится все труднее введение понятия композиции форм. В 1898 г. А. Гурвиц показал, что для квадратичных форм с числом переменных больше 8 очень сложно ввести удовлетворительное понятие композиции. Этот феномен впоследствии был разъяснен Ю. В. Линником с точки зрения теории некоммутативных алгебр с делением. Установлено, что понятие «дискриминанта» не имеет столь существенного значения для форм высших степеней, чем дляквадратичных форм. Хорошо известна строгая разница между свойствами форм степенивыше 2 с одинаковыми дискриминантами. Для устранения этих трудностей удобно рассмотреть формы, связанные с данным расширением.
Groups of form classes were introduced in Number Theory by Gauss, for binary quadratic forms. He defined the notions of equivalence and composition and introduced a group structure in classes of equivalence for the family of quadratic forms with discriminants not divisible by a square of integral number. Further investigations of Gauss were developed in various directions. One of them is a generalization of the theory to multivariate quadratic forms, in which widely studied questions on representation of integral numbers by various quadratic forms. Other direction concerns the notion of composition. But with the growth of the number of variables the question stands very difficult. In 1898, A. Hurwits showed that for quadratic forms with the number of variables greater than 8, it is hard to introduce suitable notion of composition.This result of A. Hurwits was explaned by Y. V. Linnik from non-associative algebras’ point of a view. It is established that the notion of discriminant for forms of high degree is not so substantive as for quadratic forms. Sometimes, strict difference between forms having one and the same discriminant, is well known. To overcome these difficulties, it is convenient to consider forms connected with given extension of the field.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.