Предлагается и исследуется математическая модель периодического процесса управления, предназначенная для решения экологической проблемы сохранения видовой структуры биосообщества «хищник-жертва».Модель основана на сведении непрерывной динамикик дискретной, порожденной гомеоморфизмами окружности.Динамика взаимодействия видов описывается трехмерной системой обыкновенныхдифференциальных уравнений. Два уравнения задают систему Лотки – Вольтерры, а третье — динамику пищевой привлекательности участка, понятие которой введено в [1]. Специфика системы такова, что ее траектории принадлежат инвариантным цилиндрическим поверхностям, что позволяет провести полное качественное исследование системы.Моделируется следующий процесс. В некоторый момент времени на участок вводится популяция хищника для уменьшения роста популяции жертвы, которая рассматривается как вредный вид. Это широко распространенная в практике процедура борьбы с вредными инвазивными видами. Если через некоторое время значение пищевой привлекательности участка становится меньше порогового значения, то популяция хищника покидает участок.Ставится задача управления, состоящая в изъятии части популяции хищника так, чтобы для оставшейся части значение пищевой привлекательности было больше порога.Вводится понятие допустимого кусочно постоянного управления, которое учитываетвозможность его практической реализации при наименьшей антропогенной нагрузке научасток. Для решения поставленной задачи предлагается метод касательных управлений,на основе которого построен периодический процесс управления, как наиболее естествен-ный, если учесть периодичность свободной системы Лотки – Вольтерры.При построении периодического процесса управления непрерывная динамика сводитсяк дискретной, которая порождает гомеоморфизмы окружности. Получены условия, при которых система периодична. Найдены явные выражения для периодов. Построено множество управляемости. Рассмотрено обобщение задачи, при котором непрерывная динамика индуцирует дискретную, порождающую двойные повороты окружности. Ставится задача нахождения периодических траекторий.
To solve a problem of preserving a predator-prey biocommunity species structure, a mathematical model of periodic control process is proposed and investigated. A model is based on reducing of continuous dynamics to a discrete one generated by circle homeomorphisms.The biocommunity dynamics is described by a three dimensional system of ordinary differential equations. Two equations present the Lotka-Volterra system, and the third one describes the dynamics of food attractivity the notion of which was introduced in [1]. The specifics of the system is such that its trajectories belong to cylindrical surfaces. The latter permits to conduct a qualitative research of the system.The following process is modeled. At some point of time, in order to diminish the growth of prey population, which is considered as a harmful one, a predator population is transferred to a patch. The latter procedure is widely spread in practice while controlling the growth of harmful, invasive, species. If, after a while, the value of food attractivity becomes less than some threshold then the predator population leaves the patch. Thus, there arises a control problem consisting in removal of some part of predator population in such a way that for the remaining part the patch attractivity value becomes more than a threshold.A notion of admissible piecewise constant control is proposed. The latter takes into account apossibility of its realization with the less anthropogenic load on a patch. To solve the formulated problem, a method of tangent control is proposed. On the basis of this method, a periodic control process, as the most natural if one takes into account the periodicity of the free Lotka-Volterrasystem, is constructed. In this case, a continuous dynamical system is reduced to a discrete one which generates circle homeomorphisms. The conditions under which a dynamical system is periodic are obtained. The explicit expressions for periods are found. The set of attainability is constructed. Also, there is considered a generalization of the control problem consisting in generating of a discrete dynamics which induces double circle rotations. In this case, the problem of finding periodic trajectories is posed.