chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-5-74-89cheb-1871Research ArticleСтатьиArticleК теории двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам для эллиптических систем дифференциальных уравненийOn the theory of two-dimensional singular integral operators and its applications to boundary value problems for elliptic systems of equationsДжангибековГулходжаJangibekovGulkhoja

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

gulkhoja@list.ruКозиевГулназар МавлоназаровичKozievGulnazar Mavlonazarovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

gulnazar88@mail.ruИнститут математики им. А. Джураева НАН ТаджикистанаТаджикистанA. Dzhuraev Institute of MathematicsTajikistanМеждународный университет туризма и предпринимательства ТаджикистанаТаджикистанInternational University of tourism and entrepreneurship of TajikistanTajikistan2024200120252557489Copyright © Джангибеков Г., Козиев Г.М., 20252025Джангибеков Г., Козиев Г.М.Jangibekov G., Koziev G.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1871

В лебеговом пространстве с весом (𝐿^𝑝)_𝛽−2/𝑝(𝐷) (1 < 𝑝 < ∞, 0 < 𝛽 < 2), где 𝐷 – конечнаяодносвязанная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривойЛяпунова Γ, и содержащая внутри точку 𝑧 = 0, рассматривается двумерный сингулярныйинтегральный оператор типа Михлина – Кальдерона – Зигмунда вида

В зависимости от гомотопического класса M𝜈(𝜈 = 0,±1, . . . ,±𝑚) оператора 𝐴 установлены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости оператора 𝐴 в (𝐿^𝑝)_𝛽−2/𝑝(𝐷) (1 < 𝑝 < ∞, 0 < 𝛽 < 2) и найдены формулы для подсчёта индекса оператора.Полученные результаты применяются к задачам Дирихле и Неймана для общих эллиптических систем двух уравнений с двумя независимыми переменными высшего порядка.

In a Lebesgue space with weight (𝐿^𝑝)_𝛽−2/𝑝(𝐷) (1 < 𝑝 < ∞, 0 < 𝛽 < 2), where 𝐷 is a finite singly connected domain of the complex plane bounded by a simple closed Lyapunov curve Γ and containing the point 𝑧 = 0, we consider a two-dimensional singular integral operator of the Mikhlin – Calderon – Zygmund type of the form

Depending on the homotopy class M𝜈(𝜈 = 0,±1, . . . ,±𝑚) of the operator 𝐴, we establish effective necessary and sufficient conditions for the operator 𝐴 to be Noetherian in (𝐿^𝑝)_𝛽−2/𝑝(𝐷) (1 < 𝑝 < ∞, 0 < 𝛽 < 2) and found formulas for calculating the index of an operator.The results obtained are applied to the Dirichlet and Neumann problems for general elliptic systems of two equations with two higher-order independent variables.

сингулярный интегральный операторсимвол операторанётеровостьиндекс оператораэллиптическая системазадача Дирихле.singular integral operatoroperator symbolNoetherian propertyoperator indexelliptic systemDirichlet problem.ReferencesNother F., Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen // Math. Ann., 1921, 82, 42 – 63.Nother F., 1921, “Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen”, Math. Ann., 82, pp. 42 – 63.Carleman T., Sur la resolution de certaines equations integrales // Ark. Math., 1922, 16, №Carleman T. 1922, “Sur la resolution de certaines equations integrales”, Ark. Math., 16, vol 26, pp. 1 – 19., 1–19.Muskelishvili N. I. 1968, “Singular integral equation”, М.; Nauka, 511 p. (English transl.:Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения // М.; Наука, 1968, 511 с.Noordh., Groningen, 1953.)Тricomi F.G. Formula d’inversione dell’ordine di due integrazioni doppie ′′con asterisco′′ //Тricomi F. G. 1926, “Formula d’inversione dell’ordine di due integrazioni doppie “con asterisco” ”, Rend. Accad. Naz. Lincei, III, ser. 6a, fasc. 9, pp. 535 – 539.Rend. Accad. Naz. Lincei, III, ser. 6a, fasc. 9, 1926, 535 – 539.Тricomi F. G. 1928, “Equazioni integrall contenenti il valor principale di un integrale doppio”, Math. Z., 27, pp. 87 – 133.Тricomi F.G. Equazioni integrall contenenti il valor principale di un integrale doppio // Math.Giraund G. 1934, “Equations a integrales principales”, Ann. Scient. Ecole norm. super., 51,Z., 27, 1928, 87 – 133.fasc. 3 et, pp. 251 – 372.Giraund G. Equations a integrales principales // Ann. Scient. Ecole norm. super., 51, fasc. 3 et, 1934, 251 – 372.Giraund G. 1936, “Sur une classe generale d’equations a interrales principales”, C. r. Acad. sci., 202, vol 26, pp. 2124 – 2126.Giraund G. Sur une classe generale d’equations a interrales principales //C. r. Acad. sci., 202, № 26, 1936, 2124 – 2126.Calderon А. P. and Zygmund A., 1956, “On singular integrals”, Amer. J. Math., 78, vol 2,Calderon А. P. and Zygmund A., On singular integrals // Amer. J. Math., 78, № 2, (1956),pp. 289 – 309.– 309.Mikhlin С. Г. 1962, “Multidimensional singular integrals and integral equations”, Fizmatgiz,Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения // М.: Физматгиз, 1962, 254 с.Moscow (Russian);(English transl.: Pergamon Press, New York 1965.)Гохберг И.Ц. К теории многомерных сингулярных интегральных уравнений // ДАНGocheberg I. Z. 1960, “On the theory of multidimensional singular integral equations “.СССР, 133, № 6, 1960, 1279 – 1282.C. R. (Dokl.) Acad. Sci. USSR, n. Ser., 133, vol. 6, pp. 1279 – 1282(Russian).Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений // Изв. АН СССР, сер. матем. I-II, т. 29, № 3, 4, 1965, с. 567 – 580, 757 – 782.Simonenko I. B . 1965, “A new general method for the investigatoin of linear operator integral equations“. (Russian).“. I. Izv. Akad.Nauk SSSR, Ser. Mat.. I-II, 29, vol. 3, 4, 567 – 580, pp. 757 – 782. (Russian)Duduchava R. On multidimensional singular integral operators. I-II // Journal of OperatorDuduchava R. 1984, “On multidimensional singular integral operators“. I-II,Journal of Operator Theory, 11, 1984, 41 – 76, pp. 199 – 214.Theory, 11, 1984, 41 – 76, 199 – 214.Stein E. M. 1957, “Note on singular integrals” Proc. Amer. Math. Soc.. vol. 8. pp. 250 – 254.Stein E.M. Note on singular integrals // Proc. Amer. Math. Soc.. 1957, vol. 8. p. 250–254.Vekua И. N. 1959, “Generalized Analytic Functions”, M.: Fizmat. 628 p. (Russian) (English transl.: Pergamon Press, Oxford, 1962.)Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции // М.: Физматгиз, 1959, 628 с.Vekua И. N. 1948, “New methods of solving elliptic equations”, М.-L: Теkh.lit., 298 p.(Russian) (English transl.:North Holland, Amsterdam, 1967.)Векуа И.Н. Новые методы эллиптических уравнений // М.-Л: Тех.лит, 1959, 298 с.Dzuraev А.D. 1971, “On the one method of Singular Integral Equations on a boudeddomain ”, Dokl. Acad. Sci. USSR, т. 197, vol 46, pp. 1251 – 1254 (Russian).Джураев А.Д. Об одном методе исследования сингулярных интегральных уравнений по ограниченной области // ДАН СССР, т. 197, № 46, 1971, с. 1251 – 1254.Dzhuraev А. D. 1987, “ Method of Singular Integral Equations”, М.: Наука (Russian) Longman, Harlow, 1992. 1987, 415 с.(English transl.:Longman, Harlow, 1992).Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений // М.: Наука, 1987, 415 с.Bojarski B. 1960, “ Studies on elliptic equations in plane domains and boundary value problems of function theory. Dr. sci. thesis, Steklov Inst. Math., Moscow (Russian).Боярский Б.В. Исследования по уравнениям эллиптического типа на плоскости и граничным задачам теории функций // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Москва, 1960.Komyak I. I. 1978, “The noether property and the index of a class of two-dimensional singular integral equations”, Dokl. Acad. Sci. BSSR, Ser. 22, vol 6, pp. 488 – 491 (Russian).Комяк И.И. Об условиях нетеровости и формуле индекса одного класса сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН БССР, т. 22, № 6, 1978, c. 488 – 491.Komyak I. I. 1980, “The noether property and the index of a class of two-dimensional singular integral equations in the ”, Differential equations, Ser. 16, vol 2, pp. 328 – 343 (Russian).Комяк И.И. Условия нетеровости и формула индекса одного класса сингулярных интегральных уравнений по круговой области // Дифференц. уравнения, 1980, том 16, № 2, 328 – 34Bilman B. М., & Dzangibekov G. 1986, “Noethericity conditions and index for some twodimensional singular integral equations with discontinuous coefficients over a bounded simply connected domain”, Dokl. Acad. Sci. USSR, Ser. 288, vol 4, p. 792 – 797.(Russian) (English transl.:Soviet Math. Dokl. 33 vol. 3, pp. 752 – 757.)Бильман Б.М., Джангибеков Г. Об условиях нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами по ограниченной односвязной области // ДАН СССР, т. 288, № 4, 1986, с. 792 – 797.Boimatov К. H., & Dzangibekov G. 1988, “On a singular integral operator”, Uspekhi math.nauk 43, vup. 3 (261), pp. 171 – 172. (Russian) (English transl.: Math. Surveys 43 (1988), vol 3, pp. 199 – 200.).Бойматов К.Х., Джангибеков Г. Об одном сингулярном интегральном операторе // Успехи математических наук. т. 43, вып.3 (261), 1988, с. 171 – 172.Dzangibekov G. 1988, “On the Noethericity and index of a class of two – dimensional singular integral equation with discontinuous coefficients” Dokl. Acad. Sci. USSR, Ser.300,vol 42, pp. 272 – 276.(Russian) (English transl.: Soviet Math. Dokl. 37 1988, vol 3, pp. 639 – 643.)Джангибеков Г. О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов // ДАН СССР, т. 300,№ 42, 1988, с. 272 – 276.Dzangibekov G. 1993, “On a class of two – dimensional singular integral operators andДжангибеков Г. Об одном классе сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам для эллиптических систем на плоскости // ДАН СССР, т. 330, № 4, 1993, с.415 – 419.its applications to boundary value problems for elliptic systems of equations in the plane”,Джангибеков Г. О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах по ограниченной области // ДАН СССР, т. 383, № 1, 2002, с. 7 – 9. 415 – 419.Dokl.Akad.Nauk 330, no.4, pp. 415–419. (Russian). (English transl.: Russian Acad. Sci. Dokl.Джангибеков Г., Худжаназарова Г.Х. О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области // ДАН России, т. 396, № 4, 2004, с. 449 – 454.Math. 47, (1993), no 3, pp. 498 – 503.)Джангибеков Г., Худжаназарова Г.Х. О задаче Дирихле для эллиптической системы двух уравнений четвертого порядка на плоскости // ДАН России, т. 398, № 2, 2004, с. 151 – 155.Dzangibekov G. 2002 “On some two-dimensional singular integral operators on a bounded domain”, Dokl.Akad.Nauk, т. 383, vol 1, pp. 415 – 419.(Russian) (English transl.:Russian Acad. Sci. Dokl. Math., 2002)Джангибеков Г., Валиев Н.Г. О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов с характеристиками зависящими от полюса // ДАН РТ, т. 57, № 7, 2014, c. 556 – 562.Dzangibekov G., & Khudzhanazarova G. Kh. 2004, “On the Noethericity and index of some two-dimensional singular integral operators over bounded domain”, Dokl.Akad.Nauk, 396, no 4,Джангибеков Г., Козиев Г.М. Об одном двумерном сингулярном интегральном операторе с нечетной характеристикой // ДАН РТ, т. 58, № 10, 2015, c. 886 – 893.pp. 449 – 454.(Russian) (English transl.:Russian Acad. Sci. Dokl. Math., 2004)Джангибеков Г., Одинабеков Д.М., Худжаназарова Г.Х. Об условиях нётеровости и индексе одного класса сингулярных интегральных операторов по ограниченной односвязной области // Вестник Московского университета. Сер. 1. Матем., мех., 2019, № 2, c. 9 – 14.Dzangibekov G., & Khudzhanazarova G. Kh. 2004, “On the Dirichlet problem for an elliptic system of two fourth-order equations on a plane”, Dokl.Akad.Nauk 398, vol 2, 2004, с. pp. 151 – 155.(Russian) (English transl.:Russian Acad. Sci. Dokl. Math., 2004).Джангибеков Г., Одинабеков Д.М. К теории Нетера двумерных сингулярных интегральных операторов с четной характеристикой по ограниченной области // В сб. Современные проблемы математики и механики. МГУ им. М.В. Ломоносова, 2019, с. 50 – 53.Dzangibekov G., & Valiev N. G. 2014, “On some two-dimensional singular integrals operators with characteristics depending on the pole”, Dokl. Acad. Sci. Taj., Ser. 57, vol 7, pp. 556 – 562.(Russian).Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи // М.: Наука, 1970, 379 с.Dzangibekov G., & Koziev G. M. 2015, “The Noetherian conditions and the index of some class of singular integral operators over a bounded simply connected domain”, Dokl. Acad. Sci. Taj., т. 58, vol 10, pp. 886 – 893. (Russian).Begehr H., Vanegas C.J., Iterated Neumann problem for higher order Poisson equation // Math. Nachr. 279 (2006) 38–57.Dzangibekov G., & Одинабеков Д . М., & Khudzhanazarova G. Kh. 2019, “On the Noetherian conditions and the index of some class of singular integral operators over a bounded simply connected domain”, Moscow University Mathematics Bulletin, 74:2 (2019), 49 – 54. Ser.(Russian). (English transl.:Moscow University Mathematics Bulletin Маthем., меh., vol 2,(Russian). (English transl.:Moscow University Mathematics Bulletin Маthем., меh., vol 2,pp. 9 – 14).(Russian).pp. 9 – 14).(Russian).Dzangibekov G., & Odinabekov D. M. 2019, “The Noetherian conditions and the index ofDzangibekov G., & Odinabekov D. M. 2019, “The Noetherian conditions and the index ofsome class of singular integral operators over a bounded simply connected domain”, On Sat.some class of singular integral operators over a bounded simply connected domain”, On Sat.Modern problems of mathematics and mechanics. Moscow State University M.V. Lomonosov,Modern problems of mathematics and mechanics. Moscow State University M.V. Lomonosov,pp. 50 – 53.(Russian).pp. 50 – 53.(Russian).Vekua N. P. 1970, “Systems of singular integral equations and some boundary problems”, M.: Science, 379 p.Vekua N. P. 1970, “Systems of singular integral equations and some boundary problems”, M.: Science, 379 p.Begehr H., & Vanegas C. J., 2006, “Iterated Neumann problem for higher order PoissonBegehr H., & Vanegas C. J., 2006, “Iterated Neumann problem for higher order Poissonequation”, Math. Nachr. 279, pp. 38 – 57.equation”, Math. Nachr. 279, pp. 38 – 57.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.