chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-5-57-73cheb-1870Research ArticleСтатьиArticleО нулях периодических в среднем функций относительно свёртки БесселяOn the zeros of mean-periodic functions with respect to the Bessel convolutionВолчковВиталий ВладимировичVolchkovVitaly Vladimirovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

volna936@gmail.comКраснощёкихГлеб ВитальевичKrasnoschekikhGleb Vitalyevich

аспирант

postgraduate student

wolverimred@mail.ruФГБОУ ВО «Донецкий государственный университет»РоссияDonetsk National UniversityRussian Federation2024200120252555773Copyright © Волчков В.В., Краснощёких Г.В., 20252025Волчков В.В., Краснощёких Г.В.Volchkov V.V., Krasnoschekikh G.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1870

В статье изучаются множества единственности для решений уравнения свертки Бесселя 𝑓𝛼 ⋆𝑔 = 0, 𝛼 ∈ (−1/2,+∞). Показано, в частности, что если 𝑔 = 𝜒𝑟 – индикатор отрезка [−𝑟, 𝑟], а чётная функция 𝑓 ∈ 𝐶(R) удовлетворяет уравнению 𝑓𝛼 ⋆ 𝜒𝑟 = 0 и равна нулю на (𝑟 − 𝜀, 𝑟) или (𝑟, 𝑟 + 𝜀) при некотором 𝜀 > 0, то 𝑓 = 0 на (𝑟 − 𝜀, 𝑟 + 𝜀). При этом интервал нулей (𝑟 − 𝜀, 𝑟 + 𝜀), вообще говоря, расширить нельзя. Установлено, что подобное явление имеет место и для решений уравнения 𝑓 𝛼 ⋆ 𝛿𝑟 = 0, где 𝛿𝑟 – чётная мера, сопоставляющая чётной непрерывной функции 𝜙 на R число 𝜙(𝑟). Найдены приложения этих результатов к теоремам единственности для сходящихся последовательностей линейных комбинацийфункций Бесселя, теоремам о нулевых множествах для решений задачи Коши обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и теоремам о замыкании обобщенных сдвигов.

In paper, we study uniqueness sets for solutions to the Bessel convolution equation 𝑓𝛼 ⋆𝑔 = 0, 𝛼 ∈ (−1/2,+∞). It is shown, in particular, that if 𝑔 = 𝜒𝑟 is an indicator function of the segment [−𝑟, 𝑟], and an even function 𝑓 ∈ 𝐶(R) satisfies the equation 𝑓𝛼 ⋆𝜒𝑟 = 0and is zero on (𝑟 − 𝜀, 𝑟) or (𝑟, 𝑟 + 𝜀) for some 𝜀 > 0, then 𝑓 = 0 on (𝑟 − 𝜀, 𝑟 + 𝜀). In this case, the intervalof zeros (𝑟 − 𝜀, 𝑟 + 𝜀), cannot generally be extended. It has been established that a similar phenomenon occurs for solutions of the equation 𝑓𝛼 ⋆𝛿𝑟 = 0, where 𝛿𝑟 is an even measure that maps an even continuous function 𝜙 on R to a number 𝜙(𝑟). Applications of these results to uniqueness theorems for convergent sequences of linear combinations of Bessel functions, the zero set theorem for solutions of the Cauchy problem of the generalized Euler-Poisson-Darbouxequation and the closure theorem of generalized shifts are found.

обобщенная сверткасферическое преобразованиемножества единственноститеоремы о замыкании сдвиговлакунарные ряды.generalized convolutionspherical transformationuniqueness setsshift closure theoremslacunar series.Исследование проводилось в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (тема № 124012400352-6).ReferencesDelsarte, J. Les fonctions ‘moyenne-p´eriodiques’ / J. Delsarte // J. Math. Pures Appl. – 1935. – V. 14, №. 9. – P. 403–453.Delsarte, J. 1935, “Les fonctions ‘moyenne-p´eriodiques’ ”, J. Math. Pures Appl., vol. 14, no. 9, pp. 403–453.Schwartz, L. Theorie g´en´erale des functions moyenne-periodiqu˝e / L. Schawrtz // Annals of Mathematics. – 1947. – V. 48. – P. 857–928.Schwartz, L. 1947, “Theorie g´en´erale des functions moyenne-periodiqu˝e ”, Annals of Mathematics, vol. 48, pp. 857–928.Kahane, J.P. Sur les fonctions moyenne–p´eriodiques born´ees / J.P. Kahane // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). – 1957. – V. 7. – P. 293–314.Kahane, J.P. 1957, “Sur les fonctions moyenne–p´eriodiques born´ees ”, Ann. Inst. FourierНикольский, Н.К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций / Н.К. Никольский // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. – 1974. – Т. 12. – C. 199–412. – DOI 10.1007/BF01247397.(Grenoble), vol. 7, pp. 293–314.Беренстейн, К.А. Комплексный анализ и уравнения в свёртках / К.А. Беренстейн,Nikol’skii, N.K. 1976, “Invariant subspaces in the theory of operators and theory of functions”, Journal of Soviet Mathematics, vol. 7, no. 2, pp. 129–249. doi: 10.1007/BF01247397/Д. Струппа // Итоги науки и техники. Совр. матем. и прил. – 1989. – Т. 54. – С. 5–111.Berenstein, K., Struppa, D. 1989, “Complex analysis and convolution equations”, Itogi Nauki i Tekhniki, vol. 54, pp. 5–111. doi: 10.1007/978-3-652-58011-6/DOI 10.1007/978-3-652-58011-6.Titchmarsh, E.C. 1937, “Introduction to the theory of Fourier integrals”, Clarendon Press,Титчмарш, Э.Ч. Введение в теорию интегралов Фурье / Э.Ч. Титчмарш. – Москва:Oxford, 390 p.ГИТТЛ, 1948. – 418 с.John, F. 1955, “Plane waves and spherical means applied to partial differential equations”, Dover Publications, Mineola, NY, 172 p. doi: 10.1007/978-1-4613-9453-2/Йон, Ф. Плоские вольные и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными / Ф. Йон. – Москва: ИЛ, 1958. – 158 с. – DOI 10.1007/978-1-4613-9453-2.Lyubich, Yu.I. 1956, “On a class of integral equations”, Mat. Sb. (N.S.), vol. 38(80), no. 2,Любич, Ю.И. Об одном классе интегральных уравнений / Ю.И. Любич // Матем. сб. –pp. 183-202.– Т. 38(80), № 2. – С. 183–202.Leont’ev, A. F. 1965, “Properties of sequences of Dirichlet polynomials converging on an interval of the imaginary axis”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, no. 2, pp. 269–328.Леонтьев, А.Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси / А.Ф. Леонтьев // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1965. – Т. 29, № 2. – C. 269–328.Smith, J.D. 1972, “Harmonic analysis of scalar and vector fields in R𝑛”, Proc. Cambridge Philos. Soc., vol 72, pp. 403–416. doi: 10.1017/S0305004100047241/Smith, J.D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in R𝑛 / J.D. Smith // Proc. Cambridge Philos. Soc. – 1972. – V. 72. – P. 403–416. – DOI 10.1017/S0305004100047241.Leont’ev, A. F. 1980, “Sequences of exponential polynomials”, Nauka, Glavnaya Redaktsiya Fiziko-Matematicheskoj Literatury, Moscow, 384 p.Леонтьев, А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент / А.Ф. Леонтьев. – Москва: Наука, 1980. – 384 с.Volchkov, V.V. 1995, “A definitive version of the local two-radii theorem”, Sbornik: Mathematics, vol. 186, no. 6, pp. 783-802. doi: 10.1070/SM1995v186n06ABEH000043/Волчков, В.В. Окончательный вариант локальной теоремы о двух радиусах / В.В. Волчков // Мат. сб. – 1995. – Т. 186, № 6. – С. 15–34. – DOI 10.1070/SM1995v186n06ABEH000043.Volchkov, V.V. 2003, “Integral Geometry and Convolution Equations”, Kluwer AcademicVolchkov, V.V. Integral Geometry and Convolution Equations / V.V. Volchkov. – Dordrecht:Publishers, Dordrecht, 454 p. doi: 10.1007/978-94-010-0023-9/Kluwer Academic Publishers, 2003. – 454 p. – DOI 10.1007/978-94-010-0023-9.Volchkov, V.V., Volchkov, Vit.V. 2009, “Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions onVolchkov, V.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group / V.V. Volchkov, Vit.V. Volchkov. – London: Springer, 2009. – 671 p. –Symmetric Spaces and the Heisenberg Group”, Springer, London, 671 p. doi: 10.1007/978-1-DOI 10.1007/978-1-84882-533-8.-533-8/Зарайский, Д.А. Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам / Д.А. Зарайский // Труды ИПММ НАН Украины. – 2012. – Т. 25. – С. 77–83.Zaraisky, D.A. 2012, “A uniqueness theorem for functions with zero integrals over balls”, Tr. Inst. Prikl. Mat. Mekh., vol. 25, pp. 77–83.Зарайский, Д.А. Класс функций, периодических в среднем, однозначно определяющихся своими значениями на "периоде"/ Д.А. Зарайский // Труды ИПММ. – 2019. – Т. 33. – С. 38–41.Zaraisky, D.A. 2019, “A class of mean-periodic functions which are uniquely determined by their restrictions to the ‘period’ ”, Tr. Inst. Prikl. Mat. Mekh., vol. 33, pp. 38–41Зарайский, Д.А. Теорема единственности для решений уравнения свертки с радиальным свертывателем / Д.А. Зарайский // Материалы IV Межд. науч. конф. «Донецкие чтения 2019: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности». Том 1 Физико-математические и технические науки, Часть 1. – 2019. – С. 127–128.Zaraisky, D.A. 2019, “The uniqueness theorem for solutions of the convolution equation with convolution kernel”, Materialy‘ IV Mezhd. nauch. konf. “Doneczkie chteniya 2019: obrazovanie, nauka, innovacii, kul‘tura i vy‘zovy‘ sovremennosti” ”, (Proc. 4-th Int. Sci. Conf. “Donetsk Readings 2019: education, science, innovation, culture and modern problems”). Donetsk, 2019, pp. 127–128.Quinto, E.T. Pompeiu transforms on geodesic spheres in real analytic manifolds /Quinto, E.T. 1993, “Pompeiu transforms on geodesic spheres in real analytic manifolds”, Israel J. Math., vol. 84, pp. 353–363. doi: 10.1007/BF02760947/E.T. Quinto // Israel J. Math. – 1993. – V. 84. – P. 353–363. – DOI 10.1007/BF02760947.Lyubich, Yu.I. 1984, “Uniqueness theorem for mean-periodic functions”, Journal of SovietЛюбич, Ю.И. К теореме единственности для функций, периодических в среднем /Mathematics, vol. 26, no. 5, p. 2206. doi: 10.1007/BF01221539/Ю.И. Любич // Зап. науч. сем. ЛОМИ. – 1978. – Т. 81. – С. 166. – DOI 10.1007/BF01221539.Kargaev, P.P. 1985, “Zeros of mean-periodic functions”, Mathematical Notes, vol. 37, no. 3, pp. 181–183. doi: 10.1007/BF01158736/Каргаев, П.П. О нулях функций, периодических в среднем / П.П. Каргаев // Матем.Zaraisky, D.A. 2006, “Refinement of the uniqueness theorem for solutions of the convolution equation”, Tr. Inst. Prikl. Mat. Mekh., vol. 12, pp. 69–75.заметки. – 1985. – Т. 37, № 3. – С. 322–325. – DOI 10.1007/BF01158736.Volchkov, V.V., Volchkov, Vit.V. 2010, “Optimization problems related to the John uniqueness theorem”, St. Petersburg Mathematical Journal, vol. 21, no. 5, pp. 705–729. doi: 10.1090/S1061-0022-2010-01113-0/Зарайский, Д.А. Уточнение теоремы единственности для решений уравнения свертки / Д.А. Зарайский // Труды ИПММ НАН Украины. – 2006. – Т. 12. – С. 69–75.Volchkov, V.V., Volchkov, Vit.V. 2013, “Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces”,Волчков, В.В. Экстремальные задачи, связанные с теоремой единственности Ф. Йона / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Алгебра и анализ. – 2009. – Т. 21, № 5. – С. 37–69. – DOI 10.1090/S1061-0022-2010-01113-0.Birkh¨auser, Basel, 592 p. doi: 10.1007/978-3-0348-0572-8/Volchkov, V.V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces / V.V. Volchkov,Volchkov, V.V., Volchkov, Vit.V. 2013, “Spherical means on two-point homogeneous spaces and applications”, Izv. Math., vol. 77, no. 2, pp. 223–252. doi: 10.4213/im7956/Vit. V. Volchkov. – Basel: Birkh¨auser, 2013. – 592 p. – DOI 10.1007/978-3-0348-0572-8.Volchkov, V.V. 1999, “Injectivity sets for the Radon transform over a sphere”, Izv. Math., vol. 63, no. 3, pp. 481–493. doi: 10.4213/im248/Волчков, В.В. Сферические средние на двухточечно-однорожных пространствах и их приложения / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Изв. РАН. Сер. матем. – 2013. – Т. 77, № 2. – С. 3–34. – DOI 10.4213/im7956.Volchkov, V.V. 1996, “Extremal cases of the Pompeiu problem”, Math. Notes, vol. 59, no. 5, pp. 482–489. doi: 10.4213/mzm1761/Волчков, В.В. О множествах инъективности преобразования Радона на сферах /Zaraisky, D.A. 2020, “A new uniqueness theorem for one-dimensional convolution equation”, Tr. Inst. Prikl. Mat. Mekh., vol. 34, pp. 63–67.В.В. Волчков // Изв. РАН. Сер. матем. – 1999. – Т. 63, № 3. – С. 63–76. – DOI 10.4213/im248.Selmi, B., Nessibi, M.M. 2007, “A Local Two Radii Theorem on the Ch´ebli-Trim`echeВолчков, В.В. Экстремальные варианты проблемы Помпейю / В.В. Волчков // Матем. заметки. – 1996. – Т. 59, № 5. – С. 671–680. – DOI 10.4213/mzm1761.Hypergroup”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 329, no. 1, pp. 163–190. doi: 10.1016/j.jmaa.2006.06.061/Зарайский, Д.А. Новая теорема единственности для одномерного уравнения свертки / Д.А. Зарайский // Труды ИПММ. – 2020. – Т. 34. – С. 63–67.Volchkov, Vit.V., Krasnoschekikh, G.V. 2024, “A Refinement of the Two-Radius TheoremSelmi, B. A Local Two Radii Theorem on the Ch´ebli-Trim`eche Hypergroup / B. Selmi,on the Bessel-Kingman Hypergroup”, Mathematical Notes, vol. 116, no. 2, pp. 223–237.M.M. Nessibi // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2007. – V. 329, № 1. –doi: 10.4213/mzm14184/P. 163–190. – DOI 10.1016/j.jmaa.2006.06.061.Volchkov, V.V. 1992, “Uniqueness theorems for multiple lacunary trigonometric series”, Math. Notes, vol. 51, no. 6, pp. 550–552. doi: 10.1007/BF01263296/Волчков, Вит.В. Уточнение теоремы о двух радиусах на гипергруппе Бесселя-Кингмана / Вит.В. Волчков, Г.В. Краснощёких // Мат. заметки. – 2024. – Т. 116, № 2. – C. 212–228. – DOI 10.4213/mzm14184.Paley, R., Wiener, N. 1936, “Fourier transforms in the complex domain”, (American Math. Soc. Colloq. Publications Vol. XIX)VIII+184 Seiten. Amer. Mathem. Society, New York, vol. 44, pp. A8–A9. doi: 10.1007/BF01699343/Волчков, В.В. Теоремы единственности для кратных лакунарных тригонометрических рядов / В.В. Волчков // Мат. заметки. – 1992. – Т. 51, № 6. – С. 27–31. – DOI 10.1007/BF01263296.Levinson, N. 1940, “Gap and density theorems”, Amer. Math. Soc., Providence, 243 p.Винер, Н. Преобразование Фурье в комплексной плоскости // Н. Винер, Р. Пэли. – Москва: Наука, 1964. – 268 с. – DOI 10.1007/BF01699343.Shiskina, E.L., Sitnik, S.M. 2019, “Method of Transmutations for Differential Equations with Bessel Operators”, Fizmatlit, Moscow, 224 p.Levinson, N. Gap and density theorems // N. Levinson. – Providence: Amer. Math. Soc., 1940. – 243 p.Bateman, H. Erd´elyi, A. 1973, 1974, “Higher transcendental functions. Vol. 1–2.”, Nauka,Ситник, С.М. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя // С.М. Ситник, Э.Л. Шишкина. – Москва: Физматлит, 2019. – 224 с.Moscow, 294, 296 p.Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Том 1, 2 // Г. Бейтмен, А. Эрдейи. –Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Том 1, 2 // Г. Бейтмен, А. Эрдейи. –Москва: Наука, 1973, 1974. – 294, 296 с.Москва: Наука, 1973, 1974. – 294, 296 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.