доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
Известно, что при математическом моделировании электромагнитных полей в пространстве характер электромагнитного процесса определяется свойствами среды. Если среда непроводящая, то получаем вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения. Если же среда обладает большой проводимостью, то приходим к многомерным параболическим уравнениям.Следовательно, анализ электромагнитных полей в сложных средах (например, если проводимость среды меняется) сводится к многомерным гиперболо-параболическим уравнениям.Известно также, что колебания упругих мембран в пространстве по принципу Гамильтона можно моделировать вырождающимися многомерными гиперболическими уравнениями.Изучение процесса распространения тепла в среде, заполненной массой, приводит кмногомерным параболическим уравнениям.Следовательно, исследуя математическое моделирование процесса распространениятепла в колеблющихся упругих мембранах, также приходим к многомерным гиперболо-параболическим уравнениям. При изучении этих приложений возникает необходимость получения явного представления решений исследуемых задач. Краевые задачи для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучены, а их многомерные аналоги исследованы мало. Задача Трикоми для указанных уравнений на плоскости ранее исследована, но насколько нам известно, в пространстве не изучена. В данной работе показано, что для многомерного модельного смешанного гиперболо-параболического уравнения задача Трикоми разрешима неоднозначно. Приводится явный вид этого решения.
It is known that in mathematical modeling of electromagnetic fields in space, the nature of the electromagnetic process is determined by the properties of the environment. If the mediumis non-conducting, then we obtain multidimensional hyperbolic equations. If the medium has high conductivity, then we come to multidimensional parabolic equations.Consequently, the analysis of electromagnetic fields in complex media (for example, if the conductivity of the medium changes) is reduced to multidimensional hyperbolic-parabolic equations.It is also known that vibrations of elastic membranes in space according to Hamilton’s principle can be modeled by multidimensional hyperbolic equations.The study of the process of heat propagation in a medium filled with mass leads to multidimensional parabolic equations.Consequently, studying the mathematical modeling of the heat propagation process in vibrating elastic membranes, we also come to multidimensional hyperbolic-parabolic equations.When studying these applications, it becomes necessary to obtain an explicit representation ofthe solutions of the problems under study.Boundary value problems for hyperbolic-parabolic equations in the plane are well-explored, but their multidimensional analogues have been studied very little. The Tricomi problem for the above equations has been previously investigated on a plane, but far as is known, this problem in space has not been analyzed. In this paper, we show that for the multidimensional model mixed hyperbolic-parabolic equation, the Tricomi problem is non-uniquely solvable. An explicit form of this solution is provided.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.