chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-4-239-249cheb-1861Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceРасчет напряженно-деформированного состояния в предварительно нагруженном упругопластическом теле при последовательном образовании полостей на основе теории многократного наложения больших деформацийCalculation of the stress-strain state in a pre-loaded elastoplastic body with the sequential formation of cavities based on the theory of repeated superposition of large deformationsЛевинВладимир АнатольевичLevinVladimir Anatol’evich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

v.a.levin@mail.ruЗингерманКонстантин МоисеевичZingermanKonstantin Moiseevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

zingerman@rambler.ruКарцевМихаил АлександровичKartsevMikhail Alexandrovich

аспирант

postgraduate student

cartsev@cae-fidesys.comПетровскийКонстантин АлександровичPetrovskiiKonstantin Alexandrovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

augus2s@rambler.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationТверской государственный университетРоссияTver State UniversityRussian FederationТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202420012025254239249Copyright © Левин В.А., Зингерман К.М., Карцев М.А., Петровский К.А., 20252025Левин В.А., Зингерман К.М., Карцев М.А., Петровский К.А.Levin V.A., Zingerman K.M., Kartsev M.A., Petrovskii K.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1861

Получено и исследовано численное решение задачи о напряженно-деформированном состоянии в теле из упругопластического материала при последовательном образовании в нем нескольких полостей после предварительного нагружения при конечных деформациях. Для моделирования пластичности использовано условие Мизеса и ассоциированный сэтим условием закон пластического течения. Приведена общая механическая постановка задачи на основе теории многократного наложения больших деформаций. Изложен общий алгоритм решения. Для решения использован метод конечных элементов и его модификация — метод спектральных элементов. Решение получено с использованием методов и алгоритмов системы инженерного прочностного анализа. Приведены некоторые результаты численных расчетов для плоской статической задачи о концентрации напряжений в окрестности трех эллиптических полостей, образованных в теле квадратного сечения, в случаеплоской деформации. Исследованы эффекты, обусловленные пластичностью, геометрической нелинейностью, перераспределением конечных деформаций. Выполнено сравнение результатов для случаев последовательного и одновременного образования полостей.

A numerical solution to the problem of the stress-strain state in a body made of an elastoplastic material with the sequential formation of several cavities in it after preliminary loading at finite deformations has been obtained and studied. To model plasticity, the Mises condition and the law of plastic flow associated with this condition were used. A general mechanical formulation of the problem is given based on the theory of repeated superposition of large deformations. The general solution algorithm is outlined. To solve the problem, we used the finite element method and its modification — the spectral element method. The solution was obtained using methods and algorithms of the engineering strength analysis system. Some results of numerical calculations are presented for the plane static problem of stress concentration in the vicinity of three elliptical cavities formed in a body of square cross-section in the case of plane strain. Effects caused by plasticity, geometric nonlinearity, and redistribution of finitedeformations were studied. The results were compared for cases of sequential and simultaneous formation of cavities.

упругопластический материалмногократное наложение больших деформацийметод конечных элементовметод спектральных элементовконцентрация напряжений около отверстий.elastoplastic materialrepeated superposition of large deformationsfinite element methodspectral element methodstress concentration near cavities.Работа выполнена в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова при поддержке Рос- сийского научного фонда (проект 22-11-00110).ReferencesМусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.Muskhelishvili, N. I. 1963, “Some basic problems of the theory of elasticity”, Noordhof, Groningen, P. 707.Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 887 с.Savin, G.N. 1968, “Raspredelenie napryazhenij okolo otverstij. [Stress distribution near holes]”, Kiev: Naukova dumka, 887 p. (in Russian).Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Multiple joined prestressed orthotropic layers under large strains // International Journal of Engineering Science, 2018, V. 133, P. 47–59.Levin, V.A., Zubov, L.M., Zingerman, K.M. 2018, “Multiple joined prestressed orthotropic layers under large strains”, International Journal of Engineering Science. V. 133, pp. 47–59.Zingerman K.M., Levin V.A. Redistribution of finite elastic strains after the formation of inclusions. Approximate analytical solution // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2009. V. 73, Issue 6. P. 710–721, https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2010.01.011.Zingerman, K.M., Levin, V.A. 2009, “Redistribution of finite elastic strains after the formation of inclusions. Approximate analytical solution”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, V. 73, Iss. 6. pp. 710–721. URL: https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2010.01.011.Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: Физматлит, 2002. 272с.Levin, V.A., Zingerman, K.M. 2002, “Ploskie zadachi mnogokratnogo nalozheniya bol‘shikh deformaczij. Metody‘ resheniya. [Plane problems of the theory of repeated superposition of large strains: Methods of solution]”, M.: Fizmatlit, 272 p. (in Russian).Zingerman K.M., Levin V.A. Extension of the Lame–Gadolin problem for large deformations and its analytical solution. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Volume 77, Issue 2, 2013, Pages 235-244, https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2013.07.016.Zingerman, K.M., Levin, V.A. 2013, “Extension of the Lame–Gadolin problem for large deformations and its analytical solution”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, V. 77, Iss. 2. pp. 235-244. URL: https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2013.07.016.Levin V.A., Zingerman K.M. Interaction and Microfracturing Pattern for Successive Origination (Introduction) of Pores in Elastic Bodies: Finite Deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. V. 65. no. 2. P. 431-435.Levin, V.A., Zingerman, K.M. 1998, “Interaction and microfracturing pattern for successive origination (introduction) of pores in elastic bodies: Finite deformation”, Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. V. 65. no. 2. pp. 431–435. doi: 10.1115/1.2789072.Levin V.A., Zingerman K.M. A class of methods and algorithms for the analysis of successive origination of holes in a pre-stressed viscoelastic body. Finite strains. Communications in Numerical Methods in Engineering. 2008. V. 24, Issue 12. P. 2240-2251. https://doi.org/10.1002/cnm.1080Levin, V.A., Zingerman, K.M., 2008. "A class of methods and algorithms for the analysis of successive origination of holes in a pre-stressed viscoelastic body. Finite strains Communications in Numerical Methods in Engineering. Vol. 24, Issue 12. pp. 2240–2251. doi: 10.1002/cnm.1080.Levin V.A., Zingerman K.M., Vershinin A.V., Freiman E.I., Yangirova A.V. Numerical analysis of the stress concentration near holes originating in previously loaded viscoelastic bodies at finite strains //International Journal of Solids and Structures, 2013. V. 50, no. 20-21, p. 3119–3135. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2013.05.019Levin, V.A., Zingerman, K.M., Vershinin, A.V., Freiman, E.I., Yangirova, A.V. 2013, “Numerical analysis of the stress concentration near holes originating in previously loaded viscoelastic bodies at finite strains”, International Journal of Solids and Structures. V. 50, no. 20–21, pp. 3119– 3135. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2013.05.019.Абрамов С.М., Клюев Л.В., Крапивин К.Ю., Ножницкий Ю.А., Серветник А.Н., Чичковский А.А. Использование программы фидесис для моделирования развития больших пластических деформаций во вращающемся диске // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 3. С. 15–27.Abramov, S.M., Amel’kin, S.A., Kljuev, L.V., Krapivin, K.J., Nozhnickij, J.A., Servetnik, A.N., Chichkovskij, A.A. 2017, “Modeling the development of large plastic deformations in a rotating disk in the Fidesys program”, Chebyshevskii Sbornik. V. 18(3). pp.15-27. (In Russ.) doi: 10.22405/2226-8383-2017-18-3-15-27.Левин В.А., Зингерман К.М., Крапивин К.Ю., Яковлев М.Я. Спектральный элемент Лежандра в задачах локализации пластических деформаций // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21, № 3. С. 306–316.Levin, V.A., Zingerman, K.M., Krapivin, K.Yu., Yakovlev, M.Ya. 2020, “Legendre spectral element for plastic localization problems at large scale strains”, Chebyshevskii Sbornik. V. 21(3). pp. 306–316. (In Russ.) doi: 10.22405/2226-8383-2020-21-3-306-316.Levin, V.A., Zingerman, K.M., Krapivin, K.Y. Numerical Solution of Stress Concentration Problems in Elastic-Plastic Bodies Under the Superposition of Finite Deformations // Advanced Structured Materials, 2023, V. 198. P. 305-–323.Levin, V.A., Zingerman, K.M., Krapivin, K.Y. 2023, “Numerical solution of stress concentration problems in elastic-plastic bodies under the superposition of finite deformations”, Advanced Structured Materials. V. 198. pp. 305–323. doi: 10.1007/978-3-031-43210-1_18.Lee E. H. Elastic-Plastic Deformation at Finite Strains. Journal of Applied Mechanics. 1969. Vol. 36. Issue 1. P. 1-6.Lee E. H. 1969, “Elastic-plastic deformation at finite strains”, Journal of Applied Mechanics. Vol. 36. Iss. 1. pp. 1–6.Mandel, J. Contribution theorique a l’etude de l’ecrouissage et des lois de l’ecoulement plastique. Proceedings of the 11th International Congress on Applied Mechanics. 1966. P. 502-509.Mandel, J. 1966, “Contribution theorique a l’etude de l’ecrouissage et des lois de l’ecoulement plastique”, Proceedings of the 11th International Congress on Applied Mechanics. pp. 502–509.Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.Lurie, A.I. 1990, “Nonlinear Theory of Elasticity”, North-Holland, Amsterdam.Simo J. C., Hughes T. J. R. Computational Inelasticity. Interdisciplinary Applied Mathematics. Vol. 7. 1998. Springer, New York. 392 p.Simo, J. C., Hughes, T. J. R. 1998, “Computational Inelasticity”, Interdisciplinary Applied Mathematics, Vol. 7. Springer, New York. 392 p.Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Fox D.D. The finite element method for solid and structural mechanics. 7-th edition. Elsevier, 2014. - 624 p.Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., Fox, D.D. 2014, “The finite element method for solid and structural mechanics”, 7-th edition. Elsevier. 624 p.Левин В.А., Вершинин А.В. Нелинейная вычислительная механика прочности. Том 2. Численные методы. Параллельные вычисления на ЭВМ. Под общ. ред. В.А. Левина. М.: Физматлит, 2015. 544 с.Levin, V.A., Vershinin, A.V. 2015, “Nelinejnaya vy‘chislitel‘naya mekhanika prochnosti. Tom 2. Chislenny‘e metody‘. Parallel‘ny‘e vy‘chisleniya na E‘VM. [Nonlinear Computational Strength Mechanics. Vol. 2. Numerical Methods. Parallel computing.]”, Pod obshh. red. V.A. Levina. Fizmatlit, Moscow. 544 p. (in Russian).Komatitsch D., Vilotte J. P. The spectral element method: An efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures // Bull. Seismol. Soc. Am. 88:2 (1998), 368–392.Komatitsch, D., Vilotte, J. P. 1998, “The spectral element method: An efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures”, Bull. Seismol. Soc. Am. V. 88, no. 2. pp. 368–392. doi: 10.1785/BSSA0880020368.Konovalov D. Vershinin A., Zingerman K., Levin V. The implementation of spectral element method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes // Modeling and Simulation in Engineering. 2017 (2017), art. id. 1797561.Konovalov D. Vershinin A., Zingerman K., Levin V. 2017, “The implementation of spectral element method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes”, Modeling and Simulation in Engineering. V. 2017, art. id. 1797561. doi: 10.1155/2017/1797561.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.