Алгебра классов сопряжённости и алгебра двойных смежных классов – классические коммутативные подалгебры групповой алгебры симметри- ческой группы. Структурные константы этих алгебр вызвали значительный интерес у комбинаториков в связи с тем, что они представляют собой число разложений данной перестановки в упорядоченное произведение перестановок с заданной структурой циклов. Несмотря на сходство свойств эти константы обычно изучались отдельно. Для обеих семей структурных констант они равны суммам характеров – неприводимых характеров симметрической группы и зональных сферических функций, двух частных случаев более общей семьи характеров, называемых характерами Джека. Характеры Джека являются коэффициентами в разложении по базису степенных симметрических многочленов симметрических функций Джека, семьи симметрических функций, индексируемых параметром α. Структутные константы алгебры классов соответствуют случаю α = 1 (в этом случае симметрические функции Джека пропорциональны полино- мам Шура). Структурные константы алгебры двойных смежных классов относятся к случаю α = 2 (в этом случае симметрические функции Джека являются зональными полиномами). Структурные константы Джека позволяют рассматривать их с единой точки зрения для произвольного параметра α. Настоящая работа посвящена этим обобщённым коэффициентам и их вычислению. Точнее, мы концентрируем наше внимание на обобщении формулы для числа разложений перестановки с заданной цик- ловой структурой в произведение r транспозиций. Мы пользуемся дей- ствием оператора Лапласа-Белтрами на симметрические функции Джека для доказательства общей формулы и даём более простые её эквиваленты для некоторых значений r.
The class algebra and the double coset algebra are two commutative subalgebras of the group algebra of the symmetric group. The connection coefficients of these two algebraic structures received significant attention in combinatorics as they provide the number of factorizations of a given permutation into an ordered product of permutations satisfying given cyclic structures. While they are usually studied separately, these two families of connection coefficients share strong similarities. They are both equal to some sums of characters, respectively the irreducible characters of the symmetric group and the zonal spherical functions, two specific cases of a more general family of characters named Jack’s characters. Jack’s characters are defined as the coefficients in the power sum expansion of the Jack’s symmetric functions, a family of symmetric polynomials indexed by a parameter α. Connection coefficients of the class algebra corresponds to the case α = 1 (Jack’s symmetric functions are proportional to Schur polynomials in this case) and the connection coefficients of the double coset algebra corresponds to the case α = 2 (Jack’s symmetric functions are equal to zonal polynomials). We define Jack’s connection coefficients to provide a unified approach for general parameter α. This paper introduces these generalized coefficients and focus on their computations. More specifically we focus on the generalization of the formula giving the number of factorizations of a permutation of a given cyclic structure into the product of r transpositions. We use the action of the Laplace-Beltrami operator on Jack’s symmetric functions to provide a general formula and make this formula explicit for some given values of r.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.