chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-4-147-153cheb-1853Research ArticleКраткие сообщенияОб одном классе периодических элементов гиперэллиптических полей, определяемых многочленами нечетной степениOn a class of periodic elements in hyperelliptic fields defined by polynomials of odd degreeПетрунинМаксим МаксимовичPetruninMaxim Maximovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

petrushkin@yandex.ruФедеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук»РоссияScientific Research Institute of System AnalysisRussian Federation202420012025254147153Copyright © Петрунин М.М., 20252025Петрунин М.М.Petrunin M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1853

В случае произвольной нечетной степени многочлена 𝑓 над произвольным полем алгебраических чисел 𝐾 был получен класс всегда квазипериодических в K((𝑥)) элементов 𝑣+𝑤√𝑓/𝑢 для 𝑣,𝑤, 𝑢 ∈ K[𝑥] гиперэллиптического поля K(𝑥)(√𝑓), задаваемый только соотношениями на многочлены 𝑢, 𝑣,𝑤, 𝑓 и их степени. Этот класс не пуст при наличии в гиперэллиптическом поле хотя бы одного квазипериодического элемента. В классе был выделен подкласс заведомо периодических элементов.

For an arbitrary odd-degree polynomial 𝑓 over an arbitrary field of algebraic numbers K, the class of always quasiperiodic elements in K((𝑥)) of the form 𝑣+𝑤√𝑓/𝑢 , where 𝑣,𝑤, 𝑢 ∈ K[𝑥], in the hyperelliptic field K(𝑥)(√𝑓), has been determined. This class is characterized by certain relationships involving the polynomials 𝑢, 𝑣,𝑤, and 𝑓, as well as their degrees. The class is guaranteed to be nonempty if at least one quasiperiodic element exists in the hyperelliptic field.Furthermore, a specific subclass of always periodic elements has been identified within this broader class.

гиперэллиптическое поленепрерывные дробифункциональные непрерывные дроби𝑆-единицыпериодичностьквазипериодичность.hyperelliptic fieldcontinued fractionsfunctional continued fractions𝑆-unitsperiodicityquasiperiodicitypseudoperiodicity.Работа выполнена в рамках Государственного задания по проведению фундаментальных научных иссле- дований проект FNEF-2024-0001ReferencesAbel N.H. Ueber die Integration der Differential-Formel 𝜌𝑑𝑥/√𝑅 wenn R und 𝜌 ganze Functionen sind // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik. 1826. Vol. 1. P. 185–221.Abel, N. H. 1826, “Ueber die Integration der Differential-Formel 𝜌𝑑𝑥/√𝑅, wenn R und 𝜌 ganze Functionen sind”, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, vol. 1, pp. 185–221.Tchebicheff P. Sur l’int´egration des diff´erentielles qui contiennent une racine carr´ee d’un polynome du troisieme ou du quatrieme degr´e’ // Journal des math. pures et appl. 1857. Vol. 2. P. 168–192.Tchebicheff, P. 1857, “Sur l’int´egration des diff´erentielles qui contiennent une racine carr´ee d’un polynome du troisieme ou du quatrieme degr´e”, Journal des math. pures et appl., vol. 2, pp. 168–192.Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // Успехи Математических Наук. 2014. Т. 69:1, № 415. С. 3–38.Platonov, V.P. 2014, “Number-theoretic properties of hyperelliptic fields and the torsion problem in Jacobians of hyperelliptic curves over the rational number field”, Russian Math. Surveys, vol. 69, no. 1, pp. 1–34.Adams William W., Razar Michael J. Multiples of point on elliptic curves and continued fractions // Proc. London Math. Soc. 1980. Vol. 41, no. 3. P. 481–498.Adams, W. W. & Razar, M. J. 1980, “Multiples of points on elliptic curves and continued fractions”, Proc. London Math. Soc., vol. 41, no. 3, pp. 481–498.Schmidt Wolfgang M. On continued fractions and Diophantine approximation in power series fields // Acta arithmetica. 2000. Vol. 95, no. 2. P. 139–166.Schmidt, W. M. 2000, “On continued fractions and Diophantine approximation in power series fields”, Acta Arithmetica, vol. 95, no. 2, pp. 139–166.Schinzel A. On some problems of the arithmetical theory of continued fractions //Acta Arithmetica. – 1961. – Vol. 6. – №. 4. – P. 393-413.Schinzel, A. 1961, “On some problems of the arithmetical theory of continued fractions”, Acta Arithmetica, vol. 6, no. 4, pp. 393–413.Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Математический сборник. 2009. Т. 200, № 11. С. 15–44.Benyash-Krivets, V. V. & Platonov, V.P. 2009, “Groups of S-units in hyperelliptic fields and continued fractions”, Sb. Math., vol. 200, no. 11, pp. 1587–1615.Петрунин М. М. S-единицы и периодичность квадратного корня в гиперэллиптических полях //Доклады Академии наук 2017. – Т. 474. – №. 2. – С. 155-158.Petrunin, M. M. 2017, “S-Units and Periodicity of Square Root in Hyperelliptic Fields”, Doklady Mathematics, vol. 95, no. 3, pp. 222–225.Платонов В. П., Петрунин М. М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Тр. МИАН. 2018.Platonov, V.P. & Fedorov, G. V. “On the problem of periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields”, Sb. Math., 209:4 (2018), 519–559Платонов В. П., Федоров Г. В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Математический сборник. 2018. Т. 209, № 4. С. 54–94.Platonov, V.P. & Fedorov, G. V. 2018, “On the problem of periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields”, Sb. Math., vol. 209, no. 4, pp. 519–559.Платонов В. П. Об описании периодических элементов эллиптических полей, заданных многочленом третьей степени // Успехи Математических Наук. 2024 Т. 79, В. 6Platonov, V.P. 2024, “On the description of periodic elements in elliptic fields defined by a cubic polynomial”, Russian Math. SurveysBerry T.G. On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields // Arch. Math. (Basel). 1990. Vol. 55, no. 3. P. 259–266.Berry, T. G. 1990, “On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields”, Arch. Math. (Basel), vol. 55, no. 3, pp. 259–266.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.