доктор технических наук
doctor of technical sciences
доктор технических наук, профессор
doctor of technical sciences, professor
В статье посредством специально сконструированных узлов сетки аппроксимации определяется класс многочленов 𝐿𝑛(𝑧, 𝑢) степени 𝑛 ⩾ 1, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке – −1 ⩽ 𝑢 ⩽ 1, равных нулю при 𝑢 = −1. Для многочленов 𝐿𝑛(𝑧, 𝑢): описана связьс многочленами Чебышева первого рода; изучен 𝑛-точечный альтернанс; найдены экстремумы; получены точные выражения корней и координат точек максимума и минимума; выведена формула старшего коэффициента; найден отрезок, где многочлен монотонно возрастает и стремится к +∞ при 𝑢 → +∞. Приведены конкретные примеры альтернанса второго, третьего и четвертого порядка. Мы рассматриваем алгебраические многочленыстепени 𝑛 с действительными коэффициентами. При обработке входных данных использована равномерная непрерывная норма абсолютной погрешности. Исследовано влияние погрешности входных данных на качество аппроксимации в коэффициентной обратной задаче для алгебраического многочлена с предписанным младшим коэффициентом. В задаче минимизации влияния погрешности входных данных целевая функция описана в виде абсолютного числа обусловленности задачи, равного значению функции Лебега. На графическом материале показано увеличение численного значения абсолютного числа обусловленности задачи при отклонении координат узлов сетки аппроксимации от оптимальных.Для минимизации влияния погрешности входных данных на точность вычисления коэффициентов исследуемого алгебраического многочлена специально сконструированорасположение узлов сетки аппроксимации. При чебышевской аппроксимации получена связь узлов с точками альтернанса многочленов 𝐿𝑛(𝑧, 𝑢) линейной функцией.
In the article, by means of specially designed approximation grid nodes, the class of polynomials 𝐿𝑛(𝑧, 𝑢) of degree 𝑛 ⩾ 1 is determined, which deviate least from zero on the interval −1 ⩽ 𝑢 ⩽ 1, equal to zero at 𝑢 = −1. For polynomials 𝐿𝑛(𝑧, 𝑢) a connection with Chebyshev polynomials of the first kind is described; the 𝑛-point Chebyshev alternance was studied; extrema are found; exact expressions for the roots and coordinates of the maximum and minimum points are obtained; the formula of the senior coefficient is derived; a segmentis found where the polynomial increases monotonically and tends to +∞ as 𝑢 → +∞. Specific examples of the Chebyshev alternance of the second, third and fourth order are given.We consider algebraic polynomials of degree n with real coefficients. When processing the input data, a uniform continuous rate of absolute error was used. The influence of input data error on the quality of approximation in the coefficient inverse problem for an algebraic polynomial with a prescribed lowest coefficient is studied. In the problem of minimizing the influence of the input data error, the objective function is described as an absolute condition number of the problem, equal to the value of the Lebesgue function. The graphical material shows the level of increase in the numerical value of the absolute condition number of the problem when the coordinates of the approximation grid nodes deviate from the optimal ones.To minimize the influence of the input data error on the accuracy of calculating the coefficients of the studied algebraic polynomial, the location of the nodes of the approximation grid was specially designed. With the Chebyshev approximation, the connection of the nodes with the alternance points of the polynomials 𝐿𝑛(𝑧, 𝑢) by a linear function is obtained.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.