Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности операций над ними, образует алгебру, называемую алгеброй отношений. Альфред Тарский был первым из математиков, кто начал рассматривать алгебры отношений с точки зрения теории универсальных алгебр. Одним из важных направлений в исследованиях алгебр отношений является изучение их свойств, выраженных в виде тождеств. Это приводит к необходимости изучения многообразий, порожденных различными классами алгебр отношений. Для заданного множества Ω операций над бинарными отношениями обозначим через R{Ω} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операциями из Ω. Пусть V ar{Ω} – многообразие, порожденное классом R{Ω}. Как правило, операции над отношениями задаются с помощь формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операций является класс диофантовых операций. Операция называется диофантовой (в другой терминологии – примитивно-позитивной), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. Диофантову операцию назовем атомарной, если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь кванторы существования. Ясно, что такие формулы могут содержать лишь одну атомарную подформулу, и, следовательно, всякая атомарная операция является унарной. Существует девять атомарных диофантовых операций (исключая тождественную). Сосредоточим свое внимание на диофантовой операции умножения отношений ◦ и атомарной операции двойной цилиндрофикации, определяемых следующим образом. Для заданных отношений ρ и σ на множестве U, положим ρ ◦ σ = {(u, v) : (∃w)(u, w) ∈ ρ(w, v) ∈ σ}, ∇(ρ) = {(u, v) : (∃w, z)(w, z) ∈ ρ}. В работе найден базис тождеств многообразия V ar{◦, ∇}: алгебра (A, ·, ∗ ) типа (2, 1) тогда и только тогда принадлежит многооб- разию V ar{◦, ∇}, когда она удовлетворяет тождествам: (xy)z = x(yz), x ∗∗ = x ∗ , (x ∗ ) 2 = x ∗ , x ∗y ∗ = y ∗x ∗ , x ∗ (xy) ∗ = (xy) ∗y ∗ = (xy) ∗ , (xy∗ z) ∗ = x ∗y ∗ z ∗ = x ∗yz, xyz∗ = xyx∗ z ∗ , x ∗yz = x ∗ z ∗yz.
A set of binary relations closed with respect to some collection of operations on relations forms an algebra called an algebra of relations. The first mathematician who treated algebras of relations from the point of view of universal algebra was Alfred Tarski. In the investigation of algebras of relations, one of the most important directions is the study of those of their properties which can be expressed by identities. This leads us to the consideration of varieties generated by classes of algebras of relations. For any set Ω of operations on binary relations, let R{Ω} denote the class of all algebras isomprphic to ones whose elements are binary relations and whose operations are members of Ω. Let V ar{Ω} be the variety generated by R{Ω}. As a rule, operations on relations are defined by formulas of the firstorder predicate calculus. These operations are called logical. One of the most important classes of logical operations on relations is the class of Diophantine operations (in other terminology – primitive-positive operations). An operation on relations is called Diophantine if it can be defined by a formula containing in its prenex normal form only existential quantifiers and conjunctions. A Diophantine operation is called atomic if it can be defined by a first order formula containing in its prenex normal form only existential quantifiers. It is clear that such formulas contain only one atomic subformula. Hence atomic operations are unary operations. There exist nine atomic operations (excepting identical). We concentrate our attention on the Diophantine operation of relation product ◦ and on the atomic operation of double cylindrification ∇ that are defined as follows. For any relations ρ and σ on U, put ρ ◦ σ = {(u, v) : (∃w)(u, w) ∈ ρ(w, v) ∈ σ}, ∇(ρ) = {(u, v) : (∃w, z)(w, z) ∈ ρ}. In the paper, the bases of identities for the variety V ar{◦, ∇} is found: an algebra (A, ·, ∗ ) of the type (2, 1) belongs to the variety V ar{◦, ∇} if and only if it satisfies the identities: (xy)z = x(yz), x ∗∗ = x ∗ , (x ∗ ) 2 = x ∗ , x ∗y ∗ = y ∗x ∗ , x ∗ (xy) ∗ = (xy) ∗y ∗ = (xy) ∗ , (xy∗ z) ∗ = x ∗y ∗ z ∗ = x ∗yz, xyz∗ = xyx∗ z ∗ , x ∗ z = x ∗ z ∗yz.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.