chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-3-373-380cheb-1837Research ArticleКраткие сообщенияО специальных экстремальных множествах, связанных с таблицей умножения П. ЭрдёшаOn special extremal sets associated with the multiplication table of P. Erd˝osШтейниковЮрий НиколаевичShteinikovYuri Nikolayevichyuriisht@gmail.comНациональный исследовательский центр «Курчатовский институт»; Федеральный научный центр «Научно-исследовательский институт систем- ных исследований РАН»РоссияNational Research Center «Kurchatov Institute»; Federal Research Center “Research Institute of System Research of the RAS”Russian Federation202407012025253373380Copyright © Штейников Ю.Н., 20242024Штейников Ю.Н.Shteinikov Y.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1837

В статье исследуется следующая задача, возникающая из теории произведений множеств. Пусть имеются два конечных подмножества из множества натуральных чисел, которые всюду в статье будут обозначаться как 𝐴 и 𝐵. Полагаем, что они являются подмножеством интервала чисел [1,𝑄]. Вводим по определению множество, которое называется множеством произведения 𝐴𝐵, элементы которого представляются в виде произведения элементов из 𝐴,𝐵, иными словами такие 𝑎𝑏, где 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵. В данной статье изучается задача об экстремально больших множествах 𝐴 конечного интервала [1,𝑄], которые обладают асимтотически наибольшим возможным произведением, то есть асимптотически наибольшим значением |𝐴𝐴| равным |𝐴|2/2. В работе [2], была получена новая нетривиальная нижняя оценка на размер такого множества 𝐴 по сравнению с предыдущим результатом статьи К.Форда [1]. В данной статье мы представляем метод , который улучшаетпредыдущий результат, а также рассматриваем другую версию этой задачи. В целом мыследуем и развиваем формулировки, аргументы, идеи и подходы предложенные в работах[1], [2].

This article investigates the following problem arising from the theory of products of sets. Let there be two finite subsets of the set of natural numbers, which throughout the article will be denoted as 𝐴 and 𝐵. We assume that they are a subset of the interval of numbers [1,𝑄]. By definition, we introduce a set called the product set 𝐴𝐵, the elements of which are represented as a product of elements from 𝐴,𝐵, in other words, such elements 𝑎𝑏, where 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵.This article studies the problem of extremely large sets 𝐴 of a finite interval [1,𝑄] that have the asymptotically largest possible product, that is, the asymptotically largest value of |𝐴𝐴| equal to |𝐴|2/2. In the paper [2], a new non-trivial lower bound for the size of such a set 𝐴 was obtained in comparison with the previous result of the paper by K. Ford [1] and also of the paper [2]. In this article we present a method that improves the previous result, and alsointroduce another version of this problem. In general, we follow and develop the formulations,arguments, ideas and approaches proposed in the works [1], [2].

натуральные числаплотностьпроизведение.integer numbersdensityproduct.ReferencesФорд К., Экстремальные свойства произведений множеств // Труды МИАН,2018 Т. 303, С.239–245.Ford, K. 2018, “Extremal properties of product sets”, Proc. Steklov Inst. Math., Vol. 303, pp. 220-226.Ю. Н. Штейников, Множества с экстремальным свойством произведения и его вариации // Матем. заметки, 2023, 114:6, С. 922–930.Shteinikov, Yu. N. 2023, “Sets with Extremal Product Property and Its Variations”, Mathematical Notes, Vol. 114, no. 6, pp. 1357–1364.Erd˝os, Paul. An asymptotic inequality in the theory of numbers // Vestnik Leningrad. Univ. 15:13, P. 41–49.Erd˝os, Paul. “An asymptotic inequality in the theory of numbers”, Vestnik Leningrad. Univ., Vol.15, no. 13, pp. 41–49.Ford, Kevin . The distribution of integers with a divisor in a given interval // Annals ofFord, K. “The distribution of integers with a divisor in a given interval”, Annals of Mathematics. Second Series. Vol.168, no. 2, pp. 367–433.Mathematics. Second Series. 168: 2, P. 367–433.Cilleruelo, J., Ramana, D.S., Ramare, O. 2017, “Quotients and product sets of thin subsets of the positive integers”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 296, no. 1, pp. 52-64.Силлеруело Х, Рамана Д. С., Рамаре О. Частные и произведения подмножеств нулевой плотности множества натуральных чисел // Труды МИАН, 2017, Т.296, С. 58–71.Ford, K. 2008, “Integers with a divisor in (𝑦, 2𝑦]”, Anatomy of integers, CRM Proc. Lect. Notes, 46, Amer. Math. Soc., Providence, pp. 65–80.Ford K., Integers with a divisor in (y, 2y] //Anatomy of integers, CRM Proc. Lect. Notes, 46, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, P. 65–80.Hall, R. R., Tenenbaum, G. 1988, “Divisors”, Cambridge Tracts Math., 90, Cambridge Univ. Press, Cambridge.Hall R. R., Tenenbaum G. Divisors // 1988, Cambridge Tracts Math., 90, Cambridge Univ. Press, Cambridge.Shteinikov, Yu. 2017, “On the product sets of rational numbers”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2017, vol. 296, no. 1, pp. 243-250.Shteinikov Yu., On the product sets of rational numbers // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2017, Vol. 296, Issue 1, P 243-250.Cilleruelo, J. 2016, “A note on product sets of rationals”, International Journal of NumberCilleruelo J. A note on product sets of rationals // International Journal of Number TheoryTheory, 2016, Vol. 12, no. 05, pp. 1415-1420., Vol. 12, N. 05, P. 1415-1420.Cilleruelo, J., Garaev, M. 2016, “Congruences involving product of intervals and sets with small multiplicative doubling modulo a prime and applications”, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 160, no. 03, pp. 477-494.Cilleruelo J., Garaev M. Congruences involving product of intervals and sets with smallKonyagin, S., Shkredov, I. 2015, “On Sum Sets of Sets Having Small Product Set”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 290, pp. 288–299.multiplicative doubling modulo a prime and applications // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.,Konyagin, S., Shkredov, I. 2016, “New results on sums and products in 𝑅”, Proc. Steklov Inst. Math., 2016. vol. 294 , pp. 78-88.Vol. 160, Issue 03, P. 477-494.Vol. 160, Issue 03, P. 477-494.Konyagin S., Shkredov I. On Sum Sets of Sets Having Small Product Set // Proc. Steklov Inst. Math. 2015, Vol. 290, P. 288–299.Konyagin S., Shkredov I. On Sum Sets of Sets Having Small Product Set // Proc. Steklov Inst. Math. 2015, Vol. 290, P. 288–299.Konyagin S., Shkredov I. New results on sums and products in R, Proc. // Steklov Inst. Math., 2016. № 294 , P. 78-88.Konyagin S., Shkredov I. New results on sums and products in R, Proc. // Steklov Inst. Math., 2016. № 294 , P. 78-88.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.