кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
В работе рассматриваются 𝐹–ряды 𝑓𝑖,𝑗(𝑧) =Σ︀∞ 𝑛=0 (𝛼𝑖)𝑛(𝛽𝑗𝑧)𝑛, где 𝛼𝑖, 𝛽𝑗 – некоторые рациональные числа. Эти ряды удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из C(𝑧). Используя предыдущие результаты, полученные с помощью подхода, предложенного в одной из работ В.Х. Салихова, устанавливается алгебраическая независимость этих рядов над C(𝑧). Применение общей теоремы об арифметических свойствах 𝐹–рядов из работ В.Г. Чирского, позволяет утверждать бесконечную алгебраическую независимость значений этих рядов. Это означает, что для любого многочлена 𝑃 (𝑥1,1, . . . , 𝑥𝑚,𝑛) с целыми коэффициентами, отличного от тождественного нуля и любого целого числа 𝜉 ̸= 0, существует бесконечное множество простых чисел 𝑝 таких что в поле Q𝑝 выполняется неравенство
Здесь символы 𝑓(𝑝) 𝑖𝑗 (𝜉) обозначают суммы рядов Σ︀∞ 𝑛=0 (𝛼𝑖)𝑛 (𝛽𝑗𝜉)𝑛 в поле Q𝑝.
The paper considers 𝐹-series 𝑓𝑖,𝑗(𝑧) = Σ︀∞𝑛=0 (𝛼𝑖)𝑛(𝛽𝑗𝑧)𝑛, where 𝛼𝑖, 𝛽𝑗 are some rationalnumbers. These series satisfy a system of first-order linear differential equations with coefficients from C(𝑧). Using previous results obtained using the approach proposed in one of the works of V.Kh. Salikhov, the algebraic independence of these series over C(𝑧) is established. Application of the general theorem on the arithmetic properties of 𝐹-series from the works of V.G. Chirsky, allows us to assert the infinite algebraic independence of the values of these series. This means that for any polynomial 𝑃 (𝑥1,1, . . . , 𝑥𝑚,𝑛) with integer coefficients other than the identical zero and any integer 𝜉 ̸= 0, there is an infinite set of prime numbers 𝑝 such that in the field Q𝑝 the inequality
Here the symbols 𝑓(𝑝) 𝑖𝑗 (𝜉) denote the sums of theseries Σ︀∞ 𝑛=0 (𝛼𝑖)𝑛 (𝛽𝑗𝜉)𝑛 in the field Q𝑝.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.