доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
Данная статья посвящена задаче изучения мероморфных решений алгебраическихдифференциальных уравнений, являющейся традиционной для теории дифференциальных уравнений. К настоящему времени достаточно хорошо исследован случай линейных уравнений. Что касается нелинейных уравнений, то здесь результатов, относящихся к более или менее общим классам уравнений, сравнительно немного. Одним из классов алгебраических дифференциальных уравнений, где получен ряд общих результатов, являются так называемые уравнения типа Брио-Буке. Это уравнения вида 𝑃(𝑦, 𝑦(𝑛)) = 0, где 𝑃 — многочлен с комплексными коэффициентами, 𝑛 ∈ N. Исследование мероморфных решений уравнений такого типа начато в работах Ш. Брио, Ж. К. Буке и Ш. Эрмита, которые описали все возможные решения уравнений вида 𝑃(𝑦, 𝑦′) = 0, показав, что все они лежат в классе 𝑊, состоящем из рациональных функций, рациональных функций от некоторойэкспоненциальной функции и эллиптических функций. Далее была опубликована работаЭ. Пикара, который доказал, что все решения уравнений вида 𝑃(𝑦, 𝑦′′) = 0 также лежат в𝑊.В дальнейшем возникла гипотеза о том, что у любого уравнения вида 𝑃(𝑦, 𝑦(𝑛)) = 0 (при некоторых ограничениях на многочлен 𝑃) все мероморфные решения лежат в 𝑊. Наддоказательством этой гипотезы работали Э. Хилле, Р. Кауфман, С. Бэнк, А. Ерёменко, Л.Лиао, Т. Нг, А. Янченко и другие математики. К настоящему времени справедливость гипотезы установлена во многих случаях. Остается, однако, ряд случаев, в которых гипотеза не доказана и не опровергнута.В данной работе рассмотрен один такой случай, а именно уравнения 𝑦(𝑛) = 𝑦𝑚, где 𝑛,𝑚 ∈ N, 𝑚 ⩾ 2. Найдено необходимое и достаточное условие существования ненулевых мероморфных решений указанных уравнений и сами эти решения.
This article is devoted to the problem of studying meromorphic solutions of algebraic differential equations, which is traditional for the theory of differential equations. At the present, the case of the linear equations is quite well explored. Speaking of the nonlinear equations, there are relatively few results related to more or less common equation classes. There is one class of equations, where a number of results have been obtained. They are called Briot–Bouquet equations. These are the equations of the form 𝑃(𝑦, 𝑦(𝑛)) = 0, where 𝑃 is a complex polynomial, 𝑛 ∈ N. The research of the meromorphic solutions of this type of equations was started by Ch. Briot, J. C. Bouqet and Ch. Hermit, who described all possible solutions of the equations of the form 𝑃(𝑦, 𝑦′) = 0 by showing that they are all included in class 𝑊, which consists of rationalfunctions, rational functions of some exponential function and elliptic functions. After that E.Picard’s work was published where he proved that all solutions of the equations of the form 𝑃(𝑦, 𝑦′′) = 0 are also included in 𝑊.Later, the hypothesis arose that in any 𝑃(𝑦, 𝑦(𝑛)) = 0 equation (with some limitations to the 𝑃) all its meromorphic solutions are included in 𝑊. E. Hille, R. Kaufman, S. Bank, A. Eremenko, L. Liao, T. Ng, A. Yanchenko and other mathematicians have been working on its proof. Nowadays the validity of the hypothesis has been established in many cases, but there are a number of cases left, where it is neither proved nor disproved.There is one of these cases described in this work. Exactly, equations 𝑦(𝑛) = 𝑦𝑚, where 𝑛,𝑚 ∈ N, 𝑚 ⩾ 2. A necessary and sufficient condition for the existence of nonzero meromorphic solutions of these equations and these solutions themselves are found.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.