chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-3-335-342cheb-1831Research ArticleКраткие сообщенияОб одной формуле ЛиувилляA certain formula of LiouvilleАндриановаЮлия ВладимировнаAndrianovaYulia Vladimirovnayulia.andrianova@math.msu.ruШерстюковВладимир БорисовичSherstyukovVladimir Borisovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

shervb73@gmail.comМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математикиРоссияLomonosov Moscow State University; Moscow Center of Fundamental and Applied MathematicsRussian Federation202407012025253335342Copyright © Андрианова Ю.В., Шерстюков В.Б., 20242024Андрианова Ю.В., Шерстюков В.Б.Andrianova Y.V., Sherstyukov V.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1831

Обсуждается классическая формула Лиувилля, выражающая кратный интеграл по многомерной пирамиде через интеграл по отрезку. Показано, как формула Лиувилля связана со специальной суммой, содержащей последовательные первообразные подынтегральной функции. Приведены конкретные примеры, иллюстрирующие общий результат. Попутно доказана компактная формула для вычисления степенных моментов экспоненциальной функции.

The classical Liouville formula expressing the multiple integral over a multidimensionalpyramid through the integral over a segment is discussed. It is shown how the Liouville formulais related to the special sum, containing successive antiderivatives of the integrand. Specific examples are given to illustrate the general result. Along the way, a compact formula for calculating the power moments of an exponential function is proved.

кратный интегралформула Лиувиллябиномиальная суммафакториалсубфакториалчисло e.multiple integralLiouville formulabinomial sumfactorialsubfactorialEuler number.ReferencesВиноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Математический анализ в задачах и упражнениях. Т. 3: Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. —Vinogradova, I. A., Olekhnik, S.N., Sadovnichii, V. A. 2018, “Mathematical analysis in tasksМ.: МЦНМО, 2018. — 256 с.and exercises”, MCСME, Moscow, 256 pp.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. — М.:Fikhtengol’ts, G. M. 1966, “A Course of Differential and Integral Calculus”, Nauka, Moscow,Наука, 1966. — 656 с.Vol. 3, 656 pp.Гельфонд А. О. Вычеты и их приложения. — М.: КомКнига, 2006. — 112 с.Gel’fond, A. O. 2006, “Residues and Their Applications”, KomKniga, Moscow, 112 pp.Прудников А. П., БрычковЮ. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. — М.: Наука, 1981. — 800 с.Prudnikov, A.P., Brychkov, Yu. A., Marichev, O. I. 1981, “Integrals and Series. ElementaryГрэхем Р. Л., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. — М.: Мир, 1998. — 704 с.functions”, Nauka, Moscow, 800 pp.Hassani M. Derangements and applications // Journal of Integer Sequences. 2003. Vol. 6. Article 03.1.2.Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashnik, O. 1994, “Concrete mathematics: A Foundation forComputer Science”, 2nd edition. Addison-Wesley, MA, xiv+657 pp.Computer Science”, 2nd edition. Addison-Wesley, MA, xiv+657 pp.Hassani, M. 2003, “Derangements and applications”, Journal of Integer Sequences, vol. 6. Article 03.1.2.Hassani, M. 2003, “Derangements and applications”, Journal of Integer Sequences, vol. 6. Article 03.1.2.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.