chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-3-270-298cheb-1829Research ArticleСтатьиArticleТензорные инварианты динамических систем пятого порядка с диссипациейTensor invariants of fifth-order dynamical systems with dissipationШамолинМаксим ВладимировичShamolinMaxim Vladimirovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences

shamolin@rambler.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202407012025253270298Copyright © Шамолин М.В., 20242024Шамолин М.В.Shamolin M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1829

Представлены новые случаи интегрируемых однородных по части переменных динамических систем пятого порядка, в которых может быть выделена система на касательном расслоении к двумерному многообразию. При этом силовое поле разделяется на внутреннее (консервативное) и внешнее, которое обладает диссипацией разного знака. Внешнее поле вводится с помощью некоторого унимодулярного преобразования и обобщает ранее рассмотренные поля. Приведены полные наборы как первых интегралов, так и инвариантных дифференциальных форм.

New cases of integrable dynamical systems of the fifth-order homogeneous in terms of variables are presented, in which a system on a tangent bundle to a two-dimensional manifold can be distinguished. In this case, the force field is divided into an internal (conservative) and an external one, which has a dissipation of different signs. The external field is introduced using some unimodular transformation and generalizes the previously considered fields. Complete sets of both the first integrals and invariant differential forms are given.

динамическая системаинтегрируемостьдиссипациятрансцендентный первый интегралинвариантная дифференциальная форма.dynamical systemintegrabilitydissipationtranscendental first integralinvariant differential form.ReferencesБурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. – М.: Наука, 1967. — 396 с.Bourbaki N. Integrirovaniye. Mery, integrirovaniye mer [Integration. Measures, measure integration]. Moscow, Nauka, 1967.Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах. – М.: Наука, 1977. — 600 с.Bourbaki N. Integrirovaniye. Mery na lokal’no-kompaktnykh prostranstvakh. Prodolzheniye mer. Mery na otdelimykh prostranstvakh [Integration. Measures on locally compact spaces. Continuation of measures. Measures on separable spaces]. Moscow, Nauka, 1977.Вейль Г. Симметрия. М.: URSS, 2007.Weil G. Simmetriya [Symmetries]. Moscow, URSS, 2007.Георгиевский Д.В., Шамолин М.В. Кинематика и геометрия масс твердого тела с неподвижной точкой в R𝑛 // Доклады РАН. — 2001. — Т. 380. — № 1. — С. 47–50.Georgievskii D.V., Shamolin M.V. Kinematika i geometriya mass tverdogo tela s nepodvizhnoy tochkoy v R𝑛 [Kinematics and mass geometry for a solid body with a fixed point in R𝑛]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2001, Vol. 380, No. 1, P. 47–50.Георгиевский Д.В., Шамолин М.В. Обобщенные динамические уравнения Эйлера для твердого тела с неподвижной точкой в R𝑛 // Доклады РАН. — 2002. — Т. 383. — № 5. — С. 635–637.Georgievskii D.V., Shamolin M.V. Obobshchennye dinamicheskiye uravneniya Eilera dlya tverdogo tela s nepodvizhnoy tochkoy v R𝑛 [Generalized Euler’s Equations Describing the Motion of a Rigid Body with a Fixed Point in R𝑛]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2002, Vol. 383, No. 5, P. 635–637.Георгиевский Д.В., Шамолин М.В. Первые интегралы уравнений движения обобщенного гироскопа в R𝑛 // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 2003. — № 5. — С. 37–41.Georgievskii D.V., Shamolin M.V. Pervye integraly uravneniy dvizheniya obobshchennogo gyroskopa v R𝑛 [First integrals of motion equations of a generalized gyroscope in R𝑛]. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika [Moscow University Mathematics Bulletin], 2003, No. 5, P. 37–41.Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. — 760 с.Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. Sovremennaya geometriya [Modern Geometry], Moscow, Nauka, 1979.Иванова Т.А. Об уравнениях Эйлера в моделях теоретической физики // Матем. заметки. — 1992. — Т. 52. — Вып. 2. — С. 43–51.Ivanova T.A. Ob uravneniyakh Eilera v modelyakh teoreticheskoy phiziki [Euler equations in models of theoretical physics]. Matematicheskiye zametki [Mathematical Notes], 1992, Vol. 52, No. 2, P. 43–51.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 10. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. Пер. с нем. Изд. 4, испр., обновл. – М.: URSS, 2017. 352 с.Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsyal’nym uravneniyam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka, 1976.Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // Успехи матем. наук. 1983. Т. 38. Вып. 1. С. 3–67.Klein F. Neevklidova geometriya [Non-Euclidean geometry]. M., URSS, 2017.Козлов В.В. Рациональные интегралы квазиоднородных динамических систем // Прикл. матем. и механ. 2015. Т. 79. № 3. С. 307–316.Kozlov V.V. Integriruemost’ i Neintegriruemost’ v gamil’tonovoy mekhanike [IntegrabilityКозлов В.В. Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. — 2019. — Т. 74. —№ 1(445). — С. 117–148.and non-integrability in Hamiltonian mechanics]. Uspekhi matematicheskikh nauk [RussianКолмогоров А.Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // Доклады АН СССР. – 1953. – Т. 93. —№ 5. — С. 763–766.Mathematical Surveys], 1983, Vol. 38, No. 1, P. 3–67.Походня Н.В., Шамолин М.В. Новый случай интегрируемости в динамике многомерного тела // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2012. — № 9(100). — С. 136–150.Kozlov V.V. Ratsyonal’nye integraly kvaziodnorodnykh dinamicheskikh sistem [RationalПоходня Н.В., Шамолин М.В. Некоторые условия интегрируемости динамических систем в трансцендентных функциях // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2013. — № 9/1(110). — С. 35–41.integrals of quasi-homogeneous dynamical systems] // Prikladnaya matematika i mekhanika [Journal of applied mathematics and mechanics], 2015, Vol. 79, No. 3, P. 307–316.Походня Н.В., Шамолин М.В. Интегрируемые системы на касательном расслоении к многомерной сфере // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2014. — № 7(118). — С. 60–69.Kozlov V.V. Tenzornye invarianty i integrirovaniye differentsyal’nykh uravneniy [TensorСамсонов В.А., Шамолин М.В. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 1989. — № 3. — С. 51–54.invariants and integration of differential equations]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Russian Mathematical Surveys], 2019, Vol. 74, No. 1(445), P. 117–148.Трофимов В.В. Уравнения Эйлера на конечномерных разрешимых группах Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1980. — Т. 44. — № 5. — С. 1191–1199.Kolmogorov A.N. O dinamicheskikh sistemakh s integral’nym invariantom na tore [OnТрофимов В.В. Симплектические структуры на группах автоморфизмов симметрических пространств // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1984. № 6. С. 31–33.dynamical systems with an integral invariant on a torus]. Doklady AN SSSR [DokladyТрофимов В.В., Фоменко А.Т. Методика построения гамильтоновых потоков на симметрических пространствах и интегрируемость некоторых гидродинамических систем // ДАН СССР. 1980. Т. 254. № 6. С. 1349–1353.Mathematics], 1953, Vol. 93, No. 5, P. 763–766.Трофимов В.В., Шамолин М.В. Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильтоновых и диссипативных систем // Фундам. и прикл. матем. 2010. Т. 16. Вып. 4. С. 3–229.Pokhodnya N.V., Shamolin M.V. Noviy sluchay integriruemosti v dinamike mnogomernogo tela [A new case of integrability in the dynamics of a multidimensional body]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya [Vestnik of Samara University. Natural Science Series], 2012, No. 9(100), P. 136–150.Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1987.Pokhodnya N.V., Shamolin M.V. Nekotorye usloviya integriruemosti dinamicheskikh sistem v transtsendentnykh funktsiyakh [Some conditions of integrability of dynamical systems in transcendental functions]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya [Vestnik of Samara University. Natural Science Series], 2013, No. 9/1(110), P. 35–41.Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53. Вып. 3. С. 209–210.Pokhodnya N.V., Shamolin M.V. Integriruemye sistemy na kasatel’nom rassloenii k mnogomernoy sfere [Integrable systems on a tangent bundle to a multidimensional sphere]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya [Vestnik of Samara University. Natural Science Series], 2014, No. 7(118), P. 60–69.Шамолин М.В. Интегрируемость по Якоби в задаче о движении четырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде // Доклады РАН. — 2000. — Т. 375. — № 3. — С. 343–346.Samsonov V.A., Shamolin M.V. K zadache o dvizhenii tela v soprotivlyayushcheisya srede [On the problem of a body motion in a resisting medium]. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika [Moscow University Mechanics Bulletin], 1989, No. 3, P. 51– 54.Шамолин М.В. Об интегрировании некоторых классов неконсервативных систем // Успехи матем. наук. — 2002. — Т. 57. — Вып. 1. — С. 169–170.Trofimov V.V. Уравнения Эйлера на конечномерных разрешимых группах Ли [Euler equations on finite-dimensional solvable Lie groups]. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [Izvestiya: Mathematics], 1980, Vol. 44, No. 5, P. 1191–1199.Шамолин М.В. Об одном интегрируемом случае уравнений динамики на so(4) × R4 // Успехи матем. наук. — 2005. — Т. 60. — Вып. 6. — С. 233–234.Trofimov V.V. Simplekticheskiye struktury na gruppakh avtomorfizmov simmetricheskikh prostranstv [Symplectic structures on automorphism groups of symmetric spaces]. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika [Moscow University Mathematics Bulletin], 1984, No. 6, P. 31–33.Шамолин М.В. Случай полной интегрируемости в динамике на касательном расслоении двумерной сферы // Успехи матем. наук. — 2007. — Т. 62. — Вып. 5. — С. 169–170.Trofimov V.V., Fomenko A.T. Metodika postroeniya gamil’tonovykh potokov na simmetricheskikh prostranstvakh i integriruemost’ nekotorykh gidrodinamicheskikh sistem [The technique of Hamiltonian flows constructing on symmetric spaces and the integrability of some hydrodynamic systems]. Doklady AN SSSR [Doklady Mathematics], 1980, Vol. 254, No. 6, P. 1349–1353.Шамолин М.В. Новый случай интегрируемости в динамике многомерного твердого тела в неконсервативном поле // Доклады РАН. — 2013. — Т. 453. — № 1. — С. 46–49.Trofimov V.V., Shamolin M.V. Geometricheskiye i dinamicheskiye invarianty integriruemykh gamil’tonovykh i dissipativnykh sistem [Geometric and dynamical invariants of integrable Hamiltonian and dissipative systems]. Fundamental’naya i prikladnaya matematika [Journal of Mathematical Sciences], 2010, Vol. 16, No. 4, P. 3–229.Шамолин М.В. Новый случай интегрируемости уравнений динамики на касательном расслоении к трехмерной сфере // Успехи матем. наук. — 2013. — Т. 68. — Вып. 5(413). — С. 185–186.Shabat B.V. Vvedeniye v kompleksniy analiz [Introduction in Complex Analysis], Moscow, Nauka, 1987.Шамолин М.В. Новый случай интегрируемости в динамике многомерного твердого тела в неконсервативном поле при учете линейного демпфирования // Доклады РАН. — 2014. — Т. 457. — № 5. — С. 542–545.Shamolin M.V. Ob integriruemosti v transtsendentnykh funktsiyakh [On integrability inШамолин М.В. Интегрируемые системы с переменной диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере и приложения // Фундам. и прикл. матем. — 2015. — Т. 20. — Вып. 4. — С. 3–231.transcendental functions]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Russian mathematical surveys], 1998, Vol. 53, No. 3, P. 209–210.Шамолин М.В. Полный список первых интегралов динамических уравнений движения многомерного твердого тела в неконсервативном поле // Доклады РАН. — 2015. — Т. 461. — № 5. — С. 533–536.Shamolin M.V. Integriruemost’ po Yakobi v zadache o dvizhenii chetyrekhmernogo tverdogo tela v soprotivlyayushcheisya srede [Integrability according to Jacobi in the Problem of Motion of a Four-Dimensional Solid in a Resistant Medium]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2000, Vol. 375, No. 3, P. 343–346.Шамолин М.В. Полный список первых интегралов уравнений движения многомерного твердого тела в неконсервативном поле при наличии линейного демпфирования // Доклады РАН. — 2015. — Т. 464. — № 6. — С. 688–692.Shamolin M.V. Ob integrirovanii nekotorykh klassov nekonservativnykh sistem [Integration of certain classes of non-conservative systems]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Russian mathematical surveys], 2002, Vol. 57, No. 1, P. 169–170.Шамолин М.В. Интегрируемые неконсервативные динамические системы на касательном расслоении к многомерной сфере // Дифференц. уравнения. — 2016. — Т. 52. — № 6. — С. 743–759.Shamolin M.V. Ob odnom integriruemom sluchae uravneniy dinamiki na so(4) × R4 [AnШамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере // Доклады РАН. — 2017. — Т. 474. — № 2. — С. 177–181.integrable case of dynamical equations on so(4)×R4]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Russian mathematical surveys], 2005, Vol. 60, No. 6, P. 233–234.Шамолин М.В. Интегрируемые динамические системы с конечным числом степеней свободы с диссипацией // Пробл. матем. анализа. — 2018. — № 95. — С. 79–101.Shamolin M.V. Sluchay polnoy integriruemosti v dinamike na kasatel’nom rassloenii dvumernoy sfery [The case of complete integrability in dynamics on a tangent bundle of a two-dimensional sphere]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Russian mathematical surveys], 2007, Vol. 62, No. 5, P. 169–170.Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении многомерного многообразия // Доклады РАН. — 2018. — Т. 482. — № 5. — С. 527– 533.Shamolin M.V. Noviy sluchay integriruemosti v dinamike mnogomernogo tverdogo tela v nekonservativnom pole [New Case of Integrability in the Dynamics of a Multidimensional Solid in a Nonconservative Field]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2013, Vol. 453, No. 1, P. 46–49. 30. Shamolin M.V. Noviy sluchay integriruemosti uravenniy dinamiki na kasatel’nom rassloenii k trekhmernoy sfere [New case of integrability of dynamic equations on the tangent bundle of a 3-sphere]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Russian mathematical surveys], 2013, Vol. 68, No. 5(413), P. 185–186.Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении четырехмерного многообразия // Доклады РАН. — 2018. — Т. 479. — № 3. — С. 270–276.Shamolin M.V. Noviy sluchay integriruemosti v dinamike mnogomernogo tverdogo tela v nekonservativnom pole pri uchete lineynogo dempfirovaniya [A New Case of Integrability in the Dynamics of a Multidimensional Solid in a Nonconservative Field under the Assumption of Linear Damping]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2014, Vol. 457, No. 5, P. 542–545.Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем нечетного порядка с диссипацией // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2020. — Т. 491. — № 1. — С. 95–101.Shamolin M.V. Integriruemye sistemy s peremennoy dissipatsiey na kasatel’nom rassloenii k mnogomernoy sfere i prilozheniya [Integrable variable dissipation systems on the tangent bundle of a multi-dimensional sphere and some applications]. Fundamental’naya i prikladnaya matematika [Journal of Mathematical Sciences], 2015, Vol. 20, No. 4, P. 3–231.Шамолин М.В. Новые случаи однородных интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении четырехмерного многообразия // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2021. — Т. 497. — № 1. — С. 23–30.Shamolin M.V. Polniy spisok pervykh integralov dinamicheskikh uravneniy dvizheniya mnogomernogo tverdogo tela v nekonservativnom pole [Complete List of First Integrals of Dynamic Equations for a Multidimensional Solid in a Nonconservative Field]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2015, Vol. 461, No. 5, P. 533–536.Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемости геодезических, потенциальных и диссипативных систем на касательном расслоении конечномерного многообразия // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2021. — Т. 500. — № 1. — С. 78– 86.Shamolin M.V. Polniy spisok pervykh integralov dinamicheskikh uravneniy dvizheniya mnogomernogo tverdogo tela v nekonservativnom pole pri nalichii lineynogo dempfirovaniya [Complete List of the First Integrals of Dynamic Equations of a Multidimensional Solid in a Nonconservative Field under the Assumption of Linear Damping]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2015. — Т. 464. — № 6. — С. 688–692.Шамолин М.В. Тензорные инварианты геодезических, потенциальных и диссипативных систем на касательном расслоении двумерного многообразия // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2021. — Т. 501. — № 1. — С. 89–94.Shamolin M.V. Integriruemiye nekonservativniye dinamicheskiye sistemy na kasatel’nom rassloenii k mnogomernoy sfere [Integrable Nonconservative Dynamical Systems on the Tangent Bundle of the Multidimensional Sphere]. Differentsial’niye uravneniya [Differential equations]. 2016, Vol. 52, No. 6, P. 743–759.Шамолин М.В. Инвариантные формы объема систем с тремя степенями свободы с переменной диссипацией // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2022. — Т. 507. — № 1. — С. 86–92.Shamolin M.V. Noviye sluchai integriruemykh sistem s dissipatsiyey na kasatel’nom rassloenii k mnogomernoy sfere [New Cases of Integrable Systems with Dissipation on a Tangent Bundle of a Multidimensional Sphere]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2017, Vol. 474, No. 2, P. 177–181.Poincar´e H. Calcul des probabilit´es, Gauthier–Villars, Paris, 1912, 340 pp.Shamolin M.V. Integriruemiye dinamicheskie sistemy s konechnym chislom stepeney svobody s dissipatsiyey [Integrable Dynamic Systems with Dissipation and Finitely Many Degrees of Freedom]. Problemy matematicheskogo analiza [Journal of mathematical sciences], 2018, No. 95, P. 79–101.Shamolin M.V. Some questions of the qualitative theory of ordinary differential equations and dynamics of a rigid body interacting with a medium, In: Journal of Mathematical Sciences, 2002,Vol. 110, No. 2, pp. 2528–2557.Shamolin M.V. Noviye sluchai integriruemykh sistem s dissipatsiyey na kasatel’nom rassloyenii mnogomernogo mnogoobraziya [New Cases of Integrable Systems with Dissipation on the Tangent Bundle of a Multidimensional Manifold]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2018, Vol. 482, No. 5, P. 527–533.Shamolin M.V. Noviye sluchai integriruemykh sistem s dissipatsiyey na kasatel’nom rassloyenii chetyrekhmernogo mnogoobraziya [New Cases of Integrable Systems with Dissipation on Tangent Bundles of Four-Dimensional Manifolds]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2018, Vol. 479, No. 3, P. 270–276.Shamolin M.V. Noviye sluchai integriruemykh sistem s dissipatsiyey na kasatel’nom rassloyenii chetyrekhmernogo mnogoobraziya [New Cases of Integrable Systems with Dissipation on Tangent Bundles of Four-Dimensional Manifolds]. Doklady RAN [Physics Doklady], 2018, Vol. 479, No. 3, P. 270–276.Shamolin M.V. Noviye sluchai integriruemykh sistem nechetnogo poryadka s dissipatsiyey [New Cases of Integrable Odd-Order Systems with Dissipation]. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya [Doklady Mathematics], 2020, Vol. 491, No. 1, P. 95–101.Shamolin M.V. Noviye sluchai integriruemykh sistem nechetnogo poryadka s dissipatsiyey [New Cases of Integrable Odd-Order Systems with Dissipation]. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya [Doklady Mathematics], 2020, Vol. 491, No. 1, P. 95–101.Shamolin M.V. Noviye sluchai odnorodnykh integriruemykh sistem s dissipatsiyey na kasatel’nom rassloyenii chetyrekhmernogo mnogoobraziya [New Cases of Homogeneous Integrable Systems with Dissipation on Tangent Bundles of Four-Dimensional Manifolds]. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya [Doklady Mathematics], 2021, Vol. 497, No. 1, P. 23–30.Shamolin M.V. Noviye sluchai odnorodnykh integriruemykh sistem s dissipatsiyey na kasatel’nom rassloyenii chetyrekhmernogo mnogoobraziya [New Cases of Homogeneous Integrable Systems with Dissipation on Tangent Bundles of Four-Dimensional Manifolds]. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya [Doklady Mathematics], 2021, Vol. 497, No. 1, P. 23–30.Shamolin M.V. Noviye sluchai integriruemosti geodezicheskikh, potentsial’nykh i dissipativnykh sistem na kasatel’nom rassloenii konechnomernogo mnogoobraziya [New Cases of Integrability of Systems of Geodesics and Potential and Dissipative Systems on Tangent Bundles of Finite-Dimensional Manifolds]. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya [Doklady Mathematics], 2021, Vol. 500, No. 1, P. 78–86.Shamolin M.V. Noviye sluchai integriruemosti geodezicheskikh, potentsial’nykh i dissipativnykh sistem na kasatel’nom rassloenii konechnomernogo mnogoobraziya [New Cases of Integrability of Systems of Geodesics and Potential and Dissipative Systems on Tangent Bundles of Finite-Dimensional Manifolds]. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya [Doklady Mathematics], 2021, Vol. 500, No. 1, P. 78–86.Shamolin M.V. Tenzorniye invarianty geodezicheskikh, potentsial’nykh i dissipativnykh sistem na kasatel’nom rassloenii dvumernogo mnogoobraziya [Tensor Invariants of Geodesic, Potential, and Dissipative Systems on Tangent Bundles of Two-Dimensional Manifolds]. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya [Doklady Mathematics], 2021, Vol. 501, No. 1, P. 89–94.Shamolin M.V. Tenzorniye invarianty geodezicheskikh, potentsial’nykh i dissipativnykh sistem na kasatel’nom rassloenii dvumernogo mnogoobraziya [Tensor Invariants of Geodesic, Potential, and Dissipative Systems on Tangent Bundles of Two-Dimensional Manifolds]. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya [Doklady Mathematics], 2021, Vol. 501, No. 1, P. 89–94.Shamolin M.V. Invariantniye formy obyema sistem s tremya stepenyami svobody s peremennoy dissipatsiyey [Invariant Volume Forms of Variable Dissipation Systems with Three Degrees of Freedom]. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya [Doklady Mathematics], 2022, Vol. 507, No. 1, P. 86–92.Shamolin M.V. Invariantniye formy obyema sistem s tremya stepenyami svobody s peremennoy dissipatsiyey [Invariant Volume Forms of Variable Dissipation Systems with Three Degrees of Freedom]. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya [Doklady Mathematics], 2022, Vol. 507, No. 1, P. 86–92.Poincar´e H. Calcul des probabilit´es, Gauthier–Villars, Paris, 1912.Poincar´e H. Calcul des probabilit´es, Gauthier–Villars, Paris, 1912.Shamolin M.V. Some questions of the qualitative theory of ordinary differential equations and dynamics of a rigid body interacting with a medium. Journal of Mathematical Sciences, 2002,Vol. 110, No. 2, P. 2528–2557.Shamolin M.V. Some questions of the qualitative theory of ordinary differential equations and dynamics of a rigid body interacting with a medium. Journal of Mathematical Sciences, 2002,Vol. 110, No. 2, P. 2528–2557.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.