chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-3-259-269cheb-1828Research ArticleСтатьиArticleАрифметические свойства значений расходящихся в поле C рядовArithmetic properties of values of divergent in C seriesЧирскийВладимир ГригорьевичChirskiiVladimir Grigorevich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

vgchirskii@yandex.ruМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской ФедерацииРоссияLomonosov Moscow State University; Russian Presidential Academy of National Economy and Public AdministrationRussian Federation202407012025253259269Copyright © Чирский В.Г., 20242024Чирский В.Г.Chirskii V.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1828

Статья посвящена описанию направлений исследования арифметических свойств значений рядов вида

с коэффициентами 𝑎𝑛, удовлетворяющими определённым условиям. При этих условияхрассматриваемый ряд,отличный от многочлена, сходится в поле C только при 𝑧 = 0. Однако для почти всех, кроме конечного числа, простых чисел 𝑝 такой ряд сходится в полях Q𝑝.Поэтому есть два естественных пути исследования. Мы можем рассматривать либо значения результата некоторого суммирования этого ряда, либо его значения в поле Q𝑝. Примером первого подхода служит рассмотренный ещё Эйлером ряд

в результате суммирования которого при подстановке 𝑥 = 1 получается замечательноеравенство

где 𝛾− постоянная Эйлера.Другое направление исследований использует введённое Э.Бомбиери понятие глобального соотношения. Используя модифицированный метод Зигеля–Шидловского удаётся получить аналоги основных теорем А.Б.Шидловского для 𝐸− функций. Применение аппроксимаций Эрмита-Паде позволило рассмотреть значения обобщённых гипергеометрических рядов не только с алгебраическими, но и с некоторыми трансцендентными в любом поле Q𝑝 параметрами.

The article describes the directions of research on the arithmetic properties of series values of the form

with coefficients 𝑎𝑛 satisfying certain conditions. Under these conditions, the considered series,other than the polynomial, converges in the field C only at 𝑧 = 0. However, for almost all but a finite number of prime 𝑝 numbers, such a series converges in the fields Q𝑝. Therefore there are two ways of research. We can either consider the arithmetic properties of the result of some summation of this series, or consider the values of this series in the field Q𝑝. An example of the first approach is the series considered by Euler

as a result of the summation of which, with the substitution 𝑥 = 1, we obtain the remarkableequality

where 𝛾 – Euler’s constant.Another direction of research uses the concept of global relation introduced by E. Bombieri.Using the modified Siegel—Shidlovskii method, it is possible to obtain analogues of the main theorems of A.B. Shidlovskii for 𝐸− functions. The use of Hermite-Pade approximants made it possible to consider the values of generalized hypergeometric series not only with algebraic, but also with certain parameters transcendental in any field Q𝑝.

трансцендентностьсуммирование рядовполиадическое число.transcendencesummatuon of a seriespolyadic number.ReferencesШидловский, А. Б. Трансцендентные числа.-М.: «Наука».-1987.-448 с.(Английский перевод:[3] Andrei B.Shidlovskii. Transcendental Numbers. W.de Gruyter.-Berlin.-New York.-1989.-467pp.).Shidlovskii, A. B. 1989, “Transcendental Numbers”, W.de Gruyter.-Berlin.-New York, 467 pp.Харди, Г. Г. Расходящиеся ряды.-М.:«URSS».-2006.-506с.Hardy, G. H. 1949, “Divergent Series”, Clarendon Press.-London, 510 pp.Рамис, Ж. П. Расходящиеся ряды и асимптотические теории.-М.-Иж.: «Институт компьютерных технологий».-2002.-80 с.Ramis, J.P. 1993, “Series divergentes et theories asymptotiques”, Panoramas et Syntheses, no.21, Soc. Math. France. -Paris, 80 pp.Ferguson, T. Algebraic properties of Э-functions // J.Number Theory. 2021.- v.229, pp.168-178.Ferguson, T. 2021, “Arithmetic properties of Э-functions”,J.Number Theoty, Vol, 229, pp.168– 178.Fischler, S., Rivoal, T. Arithmetic theory of E-operators // J.d l’Ecole polytechnique-Fischler, S., Rivoal. T. 2016, “Arithmetic theory of E-operators”,J.d l’Ecole polytechnique-Mathematiques.-2016.-т. 3.-с. 31 -65.Mathematiques, Vol, 3, pp.31–65.Fischler, S., Rivoal, T. Microsolutions of differential operators and values of arithmetic Gevrey series // Michigan Math. J.-2018.-c.239-254.Fischler, S., Rivoal, T. 2018, “Microsolutions of differential operators and values of arithmetic Gevrey series”, Michigan Math. J., Vol, 61, pp.239–254.Rivoal, T. On the arithmetic nature of the values of the Gamma function,Euler’s constant and Gompertz’s constant // American J.of Math.-2012.-n/140.-№2.-с.317-348.Rivoal, T. 2012, “On the arithmetic nature of the values of the Gamma function,Euler’s constant and Gompertz’s constant”,American J.of Math, Vol, 140,no.2. pp.317–348.Andre, Y. Arithmetic Gevrey series and transcendence. A survey // J. Theor. NombresAndre, Y. 2003, “Arithmetic Gevrey series and transcendence. A survey”,J.Theor.Nombres Bordeaux, Vol, 15, pp.1–10.Bordeaux.-2003.-т.15.-с.1-10.Bertrand, D., Beukers, F. 1985, “Equations differentielles linearies et majorations de multiplicities ”,Annales scientifiques ENS, Vol, 18,no.1. pp.181–192.Bertrand, D., Beukers, F. Equations differentielles linearies et majorations de multiplicities.-1985.-Annales scientifiques ENS.-т.18.-№1.-с.181-192.Chirskii, V. G. 2019, “Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers”, Russ. J. Math. Phys., Vol.26, no.3, pp.286–305.Chirskii, V. G. Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers // Russ. J. Math. Phys. 2019.- v.26, no.3, pp.286-305.Ernvall-Hytonen, A.-M., Matala-aho, T., Seppala, I. 2023, “ Euler’s factorial series, Hardy integral, and continued fractions”, J.Number Theory, Vol. 244, pp.224–250.Ernvall-Hytonen, A.-M., Matala-aho, T., Seppala, I. Euler’s factorial series, Hardy integral, and continued fractions // J.Number Theory. 2023.-v.244.-pp.224-250.Chirskii, V. G. 2020, “ Arithmetic properties of generalized hypergeometric F- series”, Russ. J. Math. Phys., Vol.27, no.2, pp.175–184.Chirskii, V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric 𝐹– series // Russ. J. Math. Phys. 2020.- v.27, no.2, pp.175-184.Chirskii, V. G.2014, “On the arithmetic properties of generalized hypergeometric series with irrational parameters .”, Izvestiya RAN. Ser. Math., Vol. 8, no.6, pp.193–210.Чирский, В. Г. Об арифметических свойствах обобщенных гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Известия РАН, серия математическая.-2014.-т.78.-№6.- с.193-210.Chirskii, V. G.2021, “ Polyadic Liouvillean numbers .”, Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.3, pp.245–255.Чирский, В. Г. Полиадические числа Лиувилля // Чебышевский сборник.-2021.-т. 22.- вып. 3.-с. 245 – 255.Chirskii, V. G. 2022, “ Arithmetic properties of the values of generalized hypergeometric series with polyadic transcendental parameter .”, Dokl. Math., Vol. 106, no.2, pp.386–397.Чирский, В. Г. Арифметические свойства значений обобщенных гипергеометрических рядов с полиадическими трансцендентными параметрами // Доклады Академии наук, сер. матем.информ. проц. управл.-2022.-т.506.-с.95-107.Chirskii, V. G. 2023, “Transcendence of p-adic values of generalized hypergeometric series with transcendental polyadic parameter .”, Dokl. Math., Vol. 107, no.2, pp.109–111.Чирский, В. Г. Трансцендентность p-адических значений обобщенных гипергеометрических рядов с трансцендентными полиадическими параметрами // Доклады Академии наук, сер. матем.информ. проц. управл.-2023.-т.510.-с.29-32.Chirskii, V. G. 2023, “ Transcendence of certain 2-adic numbers .”, Chebyshevsky sbornik, Vol. 24, no.5, pp.194–200.Чирский, В. Г. Трансцендентность некоторых 2-адических чисел // Чебышевский сборник.- 2023.- т. 24.- вып. 5.- с. 194 – 200.Yudenkova, E.Yu. 2021, “ Infinite linear and algebraic independence pf values of F-series at polyadic Liouvillean point .”, Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.2, pp.334–346.Юденкова, Е.Ю. Бесконечная линейная и алгебраическая независимость знгачений F-рядов в полиадических лиувиллевых точках // Чебышевский сборник.-2021.-т. 22.- вып. 2.-с. 334 – 346.Matveev, V.Yu. 2019, “ Properties of elements of direct products of fields”, Chebyshevskii sbornik, Vol. 20, no.2, pp.383–390.Матвеев, В.Ю. Свойства элементов прямых произведений полей // Чебышевский сборник.- 2019.- т.20.- вып. 2.- с. 383 – 390.Krupitsin, E. S. 2019, “ Arithmetic properties of series of certain classes”, Chebyshevskii sbornik, Vol. 20, no.2, pp.374–382.Крупицын, Е. С. Арифметические свойства рядов некоторых классов// Чебышевский сборник.- 2019.- т. 20.- вып. 2.- с. 374 – 382.Крупицын, Е. С. Арифметические свойства рядов некоторых классов// Чебышевский сборник.- 2019.- т. 20.- вып. 2.- с. 374 – 382.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.