chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-3-213-225cheb-1824Research ArticleСтатьиArticleПолиномы Аппеля, ассоциированные с преобразованиями Фурье, и их применение для дифференциальных уравненийAppel polynomials associated with Fourier transforms and their applications to differential equationsНижниковАлександр ИвановичNizhnikovAlexander Ivanovichnizhnikov.ai@mail.ruЯремкоОлег ЭммануиловичYaremkoOleg Emmanuilovichyaremki8@gmail.comЯремкоНаталья НиколаевнаYaremkoNatalya Nikolaevnayaremki@yandex.ruМосковский педагогический государственный университетРоссияMoscow State Pedagogical UniversityRussian FederationМосковский государственный технический университет «Станкин»РоссияMoscow State Technical University “Stankin”Russian FederationНациональный исследовательский технологический университет «МИСиС»РоссияNational Research Technological University “MISiS” (Moscow).Russian Federation202407012025253213225Copyright © Нижников А.И., Яремко О.Э., Яремко Н.Н., 20242024Нижников А.И., Яремко О.Э., Яремко Н.Н.Nizhnikov A.I., Yaremko O.E., Yaremko N.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1824

Для одного класса полиномов Аппеля, ассоциированного с дифференциальным уравнением параболического типа, получены формулы коэффициентов разложения в ряд полиномов. Установлено, что полиномы Аппеля участвуют в формулах разложения решениязадачи Коши для уравнений параболического типа в ряд производных фундаментального решения. Предложен новый метод решения задачи Коши, суть которого состоит в применении разложения в ряды по полиномам Аппеля. Результаты обобщают метод решения уравнения теплопроводности на действительной оси разложением в ряд полиномов Эрмита. Исследована связь преобразования Фурье и рядов по ассоциированным полиномам Аппеля. Изучен вопрос применения полиномов Эрмита для преобразования Лапласа.

Formulas for the coefficients of the expansion into a series of Appel polynomials associated with a differential equation of parabolic type are obtained. It has been established that Appel polynomials are involved in the formulas for the expansion of the solution to the Cauchy problem for equations of parabolic type into a series of derivatives of the fundamental solution.A new method for solving the Cauchy problem is proposed, the essence of which is to use seriesexpansion in Appel polynomials. The results generalize the method for solving the heat equationon the real axis by expanding it into a series of Hermite polynomials. The connection betweenthe Fourier transform and series in associated Appel polynomials is studied. The issue of using Hermite polynomials for the Laplace transform has been studied.

Полином Аппеляфундаментальное решениеполином Эрмитапреобразование Фурьезадача Коши.Appel polynomialfundamental solutionHermite polynomialFourier transformCauchy problem.Исследование выполнено при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект № FSFS-2024-0007).ReferencesВладимиров В. С., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Михайлов В. П. , Сидоров Ю.В., Шабунин М. И. Сборник задач по уравнениям математической физики / Под ред. В.С. Владимирова. 4-е изд., стереотип. Физматлит, 2003. 288 с.Vladimirov, V. S., Vasharin, A. A., Karimova, H. H., Mikhailov, V. P.. Sidorov, Y.V., Shabunin, M.I. 1974, “Collection of Problems on Mathematical Physics Equations [in Russian]”, Nauka, Moscow.Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:,Физматлит, 2004.Vladimirov, V. S., Zharinov, V. V. 2004, “Equations of Mathematical Physics [in Russian]”,Казьмин Ю. А.О разложениях в ряды по полиномам Аппеля. Матем. заметки, №5, вып.5, 1969, 509–520.Fizmatlit, Moscow.Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.2.— М.-Л.: ГТТИ, 1945.— 620 с.Kazmin, Yu.A. 1969, Expansions in series of Appell polynomials Math. Notes , No. 5 : 5, pp. 304–311.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979.Courant, R. & Hilbert, D. 1962, “Methods of Mathematical Physics”, Vol. 2, Partial Differential Equations. Wiley-Interscience, New York.Тихонов А.Н. , Васильева А.Б., Свешников А.Г. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005.Tikhonov, A. N., Arsenin, V. Ya. 1977, “Methods for solutions of ill-posed problems”, N Y:Чубариков В. Н. Обобщённая формула бинома Ньютона и формулы суммирования. Чебышевский сб., №21, вып.4 , 2020, 270–301.Wiley, 258 p.Яремко Н. Н., Селютин В. Д., Журавлева Е. Г. Новые формулы обращения для инте-Tikhonov, A. N., Vasil’eva, A. B., Sveshnikov, A. G. 1985, “Differential Equations”, Berlin-гральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, 2018, № 1, 24–35.Heidelberg-New York-Tokyo, Springer-Verlag.Andrews, G. E., Askey, R., Roy, R. Hermite Polynomials. Cambridge, Cambridge University Press, 1999.Chubarikov, V. N. 2020, “A generalized Binomial theorem and a summation formulae”,Aigner, Martin. A Course in Enumeration. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 238. Springer, 2007.Chebyshevskii Sb.[in Russian], № . 21:4, pp. 270–301.Jeffreys H. and Jeffreys B. Methods of Mathematical Physics,3rd ed., Cambridge Univ. Press, 1956.Yaremko, N. N., Selyutin, V. D., Zhuravleva, E. G. 2018, “New conversion formulas for integral transformations of Laplace, Weierstrass and Mellin”, News of higher educational institutions. The Volga region. Physical and Mathematical Sciences. [in Russian], № . 1, 24-35.Sitnik S. M., Yaremko O., Yaremko N. Transmutation Operators and Applications.Andrews, G. E., Askey, R., Roy, R. 1999, “Hermite Polynomials”, Cambridge, CambridgeTransmutation Operators Boundary Value Problems,Springer Nature Switzerland, 2020, pp.447-466.University Press.Sneddon I.N. Fourier Transforms. New York. McGraw-Hill. 1951.542 p.Aigner, Martin. 2007, “A Course in Enumeration. Graduate Texts in Mathematics”, Vol. 238. Springer.Thambynayagam, R. K. M. The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. /Jeffreys, H. & Jeffreys, B. 1956, “Methods of Mathematical Physics”, 3rd ed., Cambridge Univ. Press, 1956.McGraw-Hill Professional. 2011.Sitnik, S. M., Yaremko, O., Yaremko, N. 2020, “Transmutation Operators and Applications. Transmutation Operators Boundary Value Problems”, Springer Nature Switzerland, pp.447-466.Yaremko, N. , Yaremko, O. On a new formulas for a direct and inverse Cauchy problems of heat equation. DOI:10.48550/arXiv.1311.4442.Sneddon, I.N. 1951, “Fourier Transforms”, New York. McGraw-Hill, 542 p.Thambynayagam, R. K. M. 2011, “The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers”, McGraw-Hill Professional. 2011.Thambynayagam, R. K. M. 2011, “The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers”, McGraw-Hill Professional. 2011.Yaremko, N., Yaremko, O. “On a new formulas for a direct and inverse Cauchy problems of heat equation”, DOI:10.48550/arXiv.1311.4442.Yaremko, N., Yaremko, O. “On a new formulas for a direct and inverse Cauchy problems of heat equation”, DOI:10.48550/arXiv.1311.4442.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.