chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-3-187-200cheb-1822Research ArticleСтатьиArticleСведение математической модели некоторых задач математической экономики к системам дифференциальных уравнений, допускающих решение в квадратурахReduction of the mathematical model of some problems of mathematical economics to systems of differential equations that can be solved in quadraturesКозкоАртём ИвановичKozkoArtem Ivanovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

prozerpi@yahoo.co.ukЛужинаЛюбовь МихайловнаLuzhinaLyubov Mikhailovna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

lluzhina@gmail.comПоповАнтон ЮрьевичPopovAnton Yurievich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

vgchirskii@yandex.ruЧирскийВладимир ГригорьевичChirskiiVladimir Grigorievich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

vgchirskii@yandex.ruМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математикиРоссияLomonosov Moscow State University; Moscow Center of Fundamental and Applied MathematicsRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской ФедерацииРоссияLomonosov Moscow State University; Russian Presidential Academy of National Economy and Public AdministrationRussian Federation202406012025253187200Copyright © Козко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г., 20242024Козко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г.Kozko A.I., Luzhina L.M., Popov A.Y., Chirskii V.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1822

В статье рассматриваются задачи, связанные с математической моделью экономического роста Рамсея – Касса – Купманса. Строится вспомогательная система дифференциальных уравнений, для которой удаётся получить решение в квадратурах. На основании полученного решения найдены оценки сверху функции потребления. Используя оценкисверху для функции потребления, мы находим максимальное значение временного промежутка, на котором существуют решения вспомогательной системы дифференциальныхуравнений при рассматриваемых значениях параметров.При специальном начальном условии нами показано, что существует решение задачиКоши (𝐾(𝑡), 𝐶(𝑡)) на всем луче 𝑡 ∈ [0;+∞), причём, обе компоненты возрастают и стремятся к найденным нами значениям.

The article discusses the problems associated with the Ramsey — Kass — Koopmans mathematical model of economic growth. An auxiliary system of differential equations is being constructed, for which it is possible to obtain a solution in quadratures. Based on the obtained solution, the upper estimates of the consumption function are found. Using the upper estimates of the consumption function, we find the maximum value of the time interval in which there are solutions to the auxiliary system of differential equations for the considered parameter values.

Under a special initial condition, we show that there is a solution to the Cauchy problem (𝐾(𝑡), 𝐶(𝑡)) on the entire ray 𝑡 ∈ [0;+∞) and both components increase and tend to the values we found.

математическая модель экономического ростазадача Рамсея — Касса — Купмансамонотонность функции сбережения и капиталаконкурентные домохозяйствасепаратрисастационарная норма сбережения.mathematical modelRamsey — Kass — Koopmans problemmonotony of the function of saving and capitalcompetitive householdsstationary savings rate.ReferencesAcemoglu Daron. The Neoclassical Growth Model. Introduction to Modern Economic Growth // Princeton: Princeton University Press. 2009. pp. 287–326. ISBN 978-0-691-13292-1.Acemoglu, Daron. 2009, “The Neoclassical Growth Model. Introduction to Modern Economic Growth”, Princeton: Princeton University Press. pp. 287–326. ISBN 978-0-691-13292-1.B´enassy Jean-Pascal. The Ramsey Model. Macroeconomic Theory // New York: OxfordB´enassy, Jean-Pascal. 2011, “The Ramsey Model. Macroeconomic Theory”, New York: Oxford University Press. pp. 145–160. ISBN 978-0-19-538771-1.University Press. 2011. P. 145–160. ISBN 978-0-19-538771-1.Kozko A.I., Luzhina L.M., Popov, A.Yu., Chirskii, V.G. 2022, “The method of approximateКозко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г. Метод приближённого решения системы дифференциальных уравнений из модели Рамсея — Касса — Купманса, основанный на решении в квадратурах одного подкласса сходных систем // Чебышевский сборник.solution of a system of differential equations from the Ramsey — Kass — Koopmans model, based on the solution in quadratures of one subclass of similar systems”, Chebyshevskii Sbornik. vol.23(4), September. pp. 115-125. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-115-125;23(4):115-125. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-115-125Kozko, A.I., Luzhina, L.M., Popov, A.Yu., Chirskii, V.G. 2019, “Optimal exponent in theКозко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г. Оптимальная экспонента в задаче Рамсея — Касса — Купманса с логарифмической функцией полезности // Чебышевский сборник. 2019;20(4):197-207. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-4-197-207.Ramsey — Kass — Koopmans problem with logarithmic utility function”, Chebyshevskii Sbornik. vol. 20(4), September. pp. 197-207. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-4-197-207Козко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г. О задаче Рамсея — Касса — Купманса для потребительского выбора // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2020. Том 182. С. 39–44. DOI: 10.36535/0233-6723-2020-182-39-44Kozko, A. I., Luzhina, L. M., Popov, A. Yu., Chirskii, V. G. 2020, “On the Ramsey —Козко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г. Модель задачи Рамсея — Кас-Kass — Koopmans problem for consumer choice”, Results of science and technology. Modern mathematics and its applications. Thematic review. vol. 182, September, pp. 39-44. (In Russ.) DOI: 10.36535/0233-6723-2020-182-39-44.са — Купманса // Издательство: Московский педагогический государственный университет (Москва). Классическая и современная геометрия, материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В. Т. Базылева. под ред. А. В. Царева. Москва. 2019. C. 87-88.Kozko, A. I., Luzhina, L. M., Popov, A. Yu., Chirskii, V. G. 2019, The model of the problem Ramsey — Kass — Koopmans // Moscow state pedagogical University (Moscow). Classical and modern geometry, materials of the international conference dedicated to the 100th anniversary of V. T. Bazylev. under the editorship of A. V. Tsarev. Moscow. pp. 87-88.Козко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г. Оценка необходимого начального экономического ресурса в задаче Рамсея — Касса — Купманса // Чебышевский сборник. 2019. Том 20(4). C. 188-196. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-4-188-196.Kozko, A.I., Luzhina, L.M., Popov, A.Yu., Chirskii, V.G. 2019, “Assessment of the necessary initial economic resource in the Ramsey — Kass — Koopmans problem”, Chebyshevskii Sbornik. vol. 20(4), September, pp. 188-196. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-4-188-196.Козко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г. Функция потребления в модели экономического роста Рамсея — Касса — Купманса в случае стационарности функции сбережения // Чебышевский сборник. 2022. Том 23(1). C. 118-129. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-118-129.Kozko, A.I., Luzhina, L.M., Popov, A.Yu., Chirskii, V.G. 2022, “The consumption functionКозко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г. Локализация показателя опти-in the Ramsey — Kass — Koopmans economic growth model in the case of a stationaryмальной экспоненты задачи Рамсея — Касса — Купманса стремящейся к бесконечности степенной функции полезности. Чебышевский сборник. 2021. Том 22(2). С.121-134. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-121-134saving function”, Chebyshevskii Sbornik. vol. 23(1), September, pp. 118-129. (In Russ.)Козко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г. Ограничения на значения функции потребления в модели экономического роста Рамсея — Касса — Купманса в случае стационарности функции сбережения. Чебышевский сборник. 2021. Том 22(2). С. 501-509. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-501-509https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-4-188-196.Козко А.И., Лужина Л.М., Попов А.Ю., Чирский В.Г. Об идеальной экономической ситуации - росте капитала и функции потребления в некоторых моделях экономического роста.Kozko, A.I., Luzhina, L.M., Popov, A.Yu., Chirskii, V.G. 2021, “Localization of the indicator optimal exponent of the Ramsey — Kass — Koopmans problem tending to infinity of the power utility function”, Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(2):121-134. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-121-134// Чебышевский сборник. 2023. Том 24(2). С. 256-265. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-2-256-265Kozko, A.I., Luzhina, L.M., Popov, A.Yu., Chirskii, V.G. “Restrictions on the values of the consumption function in the Ramsey — Kass — Koopmans economic growth model in the case of a stationary saving function”, Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(2):501-509. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-501-509Rahul Giri. Growth Model with Endogenous Savings: Ramsey — Cass — Koopmans Model // http://ciep.itam.mx/˜rahul.giri/uploads/1/1/3/6/113608/ramsey-cass-koopmans_model.pdf.Kozko, A.I., Luzhina, L.M., Popov, A.Yu., Chirskii, V.G. 2023, “About the ideal economic situation - the growth of capital and the function of consumption in some models of economic growth”, Chebyshevskii Sbornik. vol. 24(2), pp. 256-265. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-2-256-265Барро Р. Дж., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост // М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2010.Rahul, Giri. 2018, “Growth Model with Endogenous Savings: Ramsey — Cass — Koopmans Model”, http://ciep.itam.mx/˜rahul.giri/uploads/1/1/3/6/113608/Groth Christian and Koch Karl-Josef and Steger Thomas Michael. Rethinking the Concept of Long-Run Economic Growth (April 2006) // CESifo Working Paper Series No. 1701. Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=899250.ramsey-cass-koopmans_model.pdf.Groth Christian, Koch Karl-Josef, Steger Thomas Michael. When Economic Growth is Less than Exponential // Economic Theory. Vol. 44, No. 2. 2010.Barro, Robert J., Sala-i-Martin, Xavier. 2003, “Economic growth (2nd ed.)”, Massachusetts: MIT Press, ISBN 9780262025539.Groth C. Chapter 10: The Ramsey Model // Available at: http://web.econ.ku.dk/Groth, Christian and Koch, Karl-Josef and Steger, Thomas Michael. 2006, “Rethinking the Concept of Long-Run Economic Growth (April 2006)”, CESifo Working Paper Series, no. 1701. Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=899250.okocg/VV/VV-2010/Lecture%20notes/Ch7-2010-1.pdf, 2010.Groth, Christian and Koch, Karl-Josef and Steger, Thomas Michael. 2010, “When Economic Growth is Less than Exponential”, Economic Theory, vol. 44, no. 2, pp. 213-242.Romer D. Advanced Macroeconomics. 3rd ed. // New York: McGraw-Hill/Irwin. 2006. P. 651.Groth, C. 2010, “Chapter 10: The Ramsey Model”, Available at: http://web.econ.ku.dk/okocg/VV/VV-2010/Lecture%20notes/Ch7-2010-1.pdf.Robert J. Barro. Ramsey Meets Laibson in the Neoclassical Growth Model // The Quarterly Journal of Economics, Oxford University Press. 1999. Vol. 114, No 4. P. 1125-1152.Romer, D. 2006, “Advanced Macroeconomics. 3rd ed”, New York: McGraw-Hill/Irwin, pp. 651.King Robert G., and Sergio Rebelo. Transitional Dynamics and Economic Growth in theRobert J., Barro. 1999, “Ramsey Meets Laibson in the Neoclassical Growth Model”, The Quarterly Journal of Economics, Oxford University Press, vol. 114, no. 4, pp. 1125-1152.Neoclassical Model // American Economic Review. 1993. Vol. 83, September. P. 908-931.King Robert, G., and Sergio Rebelo. 1993, “Transitional Dynamics and Economic Growth in the Neoclassical Model”, American Economic Review. vol. 83, September, pp. 908-931.Pierre-Olivier Gourinchas. Notes for Econ202A: The Ramsey — Cass — Koopmans Model // UC Berkeley Fall 2014 https://eml.berkeley.edu/˜webfac/gourinchas/e202a_f14/Notes_Ramsey_Cass_Koopmans_pog.pdfPierre-Olivier, Gourinchas. 2014, “Notes for Econ202A: The Ramsey — Cass — Koopmans Model”, UC Berkeley Fall, https://eml.berkeley.edu/˜webfac/gourinchas/e202a_f14/Notes_Ramsey_Cass_Koopmans_pog.pdf.Эглит Я.Я., Эглите К.Я., Дудин В.С., Юрченко Е.А. Функция потребления и оценивание её параметров по экспереминтальным данным // Транспортное дело России. 2022. No. 2. С. 7-9. DOI: 10.52375/20728689_2022_2_7.Eglit, Y., Eglite, K., Dudin, V., Yurchenko, E. 2022, “Consumption function and estimation of its parameters from experimental data”, Transport business in Russia. vol. 2, pp. 7-9.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.