chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-3-158-176cheb-1820Research ArticleСтатьиArticleЗадача Аполлония для двух объектов и её исследованиеThe Apollonius problem for two objects and study of itКашинаАнна СергеевнаKashinaAnna SergeevnaAniusik01@mail.ruЦыбуляЛилия МихайловнаTsybulyaLiliya Mikhailovna

кандидат физико–математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

liliya-kinder@mail.ruГБОУ Школа № 597 «Новое Поколение»РоссияSBEI School № 597 “New Generation"Russian FederationМосковский педагогический государственный университетРоссияMoscow Pedagogical State UniversityRussian Federation202406012025253158176Copyright © Кашина А.С., Цыбуля Л.М., 20242024Кашина А.С., Цыбуля Л.М.Kashina A.S., Tsybulya L.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1820

Как известно, классическая задача (проблема) Аполлония о построении с помощью циркуля и линейки окружности, касающейся трёх данных, обладает конечным числом решений, либо не имеет решений, если заданные окружности концентрические. При этом допускаются так называемые вырожденные случаи: любая из данных окружностей может являться точкой, то есть окружностью нулевого радиуса, или прямой, то есть окружностью бесконечного радиуса.Настоящая работа посвящена исследованию задачи Аполлония не для трёх окружностей, а для двух, включая вырожденные случаи. Представлена классификация всех случаев рассматриваемой задачи в зависимости от вида заданных объектов (точки, прямой или окружности) и от их взаимного расположения на вещественной координатной плоскости.В каждом из приведённых случаев были не только найдены все решения, но и указанынекоторые их взаимосвязи.Подходы к решению полученных в классификации случаев основаны на понятии геометрического места точек, равноудалённых от заданных объектов задачи, и на условиях равенств расстояний от предполагаемого центра искомой касательной окружности до каждого из заданных объектов.Отметим, что в отличие от классической задачи Аполлония решение всегда существует, более того, число решений бесконечно.

It is well known that the classical Apollonius’s problem to construct a circle tangent to three given circles using a compass and straightedge has finite number of solutions or has no solutions if the given circles are concentric. The so called degenerate cases are also included in the consideration: any of the circles may be a point (a zero-radius circle) or a straght line (a circle of infinite radius).In this paper we consider the Apollonius problem not for three circles but for only two, with the degenerate cases also considered. We classify all cases of the problem for all possible objects(points, lines or circles) and for all cases of their mutual arragements on the real coordinateplane. For every case not only all solutions are provided but also some of their interdependenciesare shown.The approaches for solutions of the classified cases are based on the notion of locus of the points being equidistant from the given objects and on the equity of distances from the center of the sought tangent circle to each of the given objects.Unlike the classical Apollonius’s problem the solution always exists, moreover, the number of solutions is infinite.

задача Аполлониялиния второго порядка.Apollonius’s problemsecond-order curveReferencesКурант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов – 9-е изд., исправленное, М.: МЦНМО, 2019. 564 с.Richard Courant, Herbert Robbins. “What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods”,M.: ICNMO, Second Edition. 592 p.Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.Kulikov, L. Ya. 1979, “Algebra and number theory: Textbook for pedagogical institutes”,M: Vysshaya shkola, 1979. – 559 p. (In Russian)Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. Учебное пособие для студентов-заочников III-IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. – Просвещение, 1980 г. – 175 с.Vinberg, E. B. 1980, “The algebra of polynomials. Textbook for part-time students of the III-IV courses of physics and mathematics faculties of pedagogical institutes”,Prosvyescheniye, 175 p. (In Russian)Muirhead R. F. On the Number and Nature of the Solutions of the Apollonian Contact Problem, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Volume 14, 2009, С. 135-147.Muirhead, R. F. 2009, “On the Number and Nature of the Solutions of the Apollonian Contact Problem”,Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Vol. 14, pp. 135-147.Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики. – М.: Дрофа, 2008. – 223 с.Potoskuev, Ye. V., Zvavich L. I. 2008, “Geometry. 10-th grade: studies. for general education. institutions with in-depth and specialized study of mathematics”,M: Drofa,. – 223 p. (In Russian)Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7–11 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 383 с.Pogorelov, A. V. 1995, “Geometry: Studies for grades 7-11. general education. institutions (Geometriya: Ucheb. dlya 7-11 cl. obscheobrazovat. uchrezhdeniy)”,M.: Prosveschenie, 5 Ed. 1995. - 383 p. (In Russian)Блинков А. Д., Блинков Ю. А. Геометрические задачи на построение. – 4-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2017. – 152 с.Blinkov, A. D., Blinkov Yu. A. 2017, “Geometric construction tasks”, M.: MTsNMO, 4 Ed.,Морозов Е. А. Обобщенная задача Аполлония// Математическое просвещение. Сер. 3. Вып. 23. М.: МЦНМО, 2019. C. 80–111.stereotip., 152 p. (In Russian).Котельников К. Обобщение задачи Аполлония Пергамского // Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики. Вып. 107, 1890 г. С. 206-210.Morozov, E. A. “The generalized Apollonius problem”, Matematicheskoye prosvescheniye. Ser. 3. Vol. 23. M.: MTsNMO, 2019. P. 80–111. (In Russian)Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: ACT: Астрель, 2006. – 991 с.Kotel’nikov, K. “Generalization of the problem of Apollonius of Pergamon”, Vestnik Opitnoy Phiziki i Elementarnoy Matematiki. Vol. 107, 1890 g. P. 206-210. (In Russia)Аргунов Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. –М., Учпедгиз, 1957. 268 с.Vygodskie, M. Ya. “Handbook of higher mathematics”, M.: AST: Astrel’, 2006. – 991 p. (In Russian)Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1986. – 336 с.Argunov, B.I., Balk M.B. “Geometric constructions in the plane. Manual for students ofИльин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. – 320 с.pedagogical institutes”, M., Uchpedgiz, 1957. 268 p. (In Russian)Парамонова И. М. Лекции по алгебре для учителей математики. – М.: МЦНМО, 2017. – 128 с.Atanasyan, L. S., Bazylev V. T. “Geometry. In 2 parts. Part. I. Textbook for students ofКашина А. С., Цыбуля Л. М. Исследование задачи Аполлония для двух объектов //Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: Современные проблемы, приложения и проблемы истории: Материалы XXII Международной конференции, посвященной 120-летию со дня рождения академика А. Н. Колмогорова и 60-летию со дня открытия школы-интерната № 18 при Московском университете. – Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого, 2023, с. 233–236.physical and mathematical faculties of pedagogical institutes”, M: Prosveschenie, 1986. – 336 p. (In Russian)Il’in, V. A., Kim, G. D. “Linear Algebra and Analytical Geometry: Textbook”, M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1998. – 320 p. (In Russian)Il’in, V. A., Kim, G. D. “Linear Algebra and Analytical Geometry: Textbook”, M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1998. – 320 p. (In Russian)Paramonova, I. M. “Lectures on algebra for math teachers”, M.: MTsNMO, 2017. – 128 p. (In Russian)Paramonova, I. M. “Lectures on algebra for math teachers”, M.: MTsNMO, 2017. – 128 p. (In Russian)Kashina, A. S., Tsybulya, L. M. 2023, “Investigation of the Apollonius problem for twoKashina, A. S., Tsybulya, L. M. 2023, “Investigation of the Apollonius problem for twoobjects”, Algebra, number theory, discrete geometry and multiscale modeling: Modern problems, applications and problems of history: Proceedings of the XXII International Conference devoted to the 120-th anniversary of the birth of Academician A. N. Kolmogorov and the 60-th anniversary of the opening of boarding school No. 18 at Moscow University, Tula: Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University, p. 233–236. (In Russian)objects”, Algebra, number theory, discrete geometry and multiscale modeling: Modern problems, applications and problems of history: Proceedings of the XXII International Conference devoted to the 120-th anniversary of the birth of Academician A. N. Kolmogorov and the 60-th anniversary of the opening of boarding school No. 18 at Moscow University, Tula: Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University, p. 233–236. (In Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.