Кольцом на абелевой группе G называется кольцо, у которого аддитивная группа совпадает с G. Подгруппа группы G называется абсолютным идеалом, если она является идеалом любого кольца на группе G. Если любой идеал кольца является абсолютным идеалом его аддитивной группы, то такое кольцо называется AI-кольцом. Если на группе имеется хотя бы одно AI-кольцо, то такая группа называется RAI-группой. В данной статье мы рассматриваем кольца на почти вполне разложимых абелевых группах (ПВР-группах). Абелева группа без кручения называется ПВР-группой, если она со- держит вполне разложимую подгруппу конечного ранга и конечного индекса. Всякая ПВР-группа G содержит регулятор A, который является вполне разложимой и вполне характеристической подгруппой. Конечная факторгруппа G/A называется регуляторным фактором группы G, поря- док группы G/A называется регуляторным индексом. Если регуляторный фактор ПВР-группы является циклическим, то группа называется ЦРФ- группой. Если типы прямых слагаемых ранга 1 регулятора A попарно не сравнимы, то группы A и G называются жесткими. Если эти типы идемпотентны, то группа G называется группой кольцевого типа. Главный результат данной статьи заключается в том, что любая жест- кая ЦРФ-группа кольцевого типа является RAI-группой. Кроме того, в работе полностью описаны главные абсолютные идеалы таких групп. Пусть G — жесткая ПВР-группа кольцевого типа с регулятором A, циклическим регуляторным фактором G/A = ⟨d+A⟩ и регуляторным ин- дексом n. Разложение A = ⊕ τ∈T(G) Aτ регулятора A в прямую сумму групп Aτ ранга 1 и типа τ определяет множество T(G) = T(A) критических типов групп G и A. Из теории ПВР-групп известно, что при подходя- щем выборе элементов eτ ∈ Aτ (τ ∈ T(G)) группу A можно представить в виде A = ⊕ τ∈T(G) Rτ eτ , где Rτ (τ ∈ T(G)) — подкольца с единицей по- ля рациональных чисел. При этом определены натуральные инварианты mτ (τ ∈ T(G)) почти изоморфизма группы G такие, что в делимой оболоч- ке группы G любой элемент g ∈ G можно записать в виде g = ∑ τ∈T(G) rτ mτ eτ , где rτ — элементы колец Rτ (τ ∈ T(G)), однозначно определенные при фиксированном разложении регулятора A. Для описания RAI-групп в некотором классе абелевых групп необхо- димо знать строение главных абсолютных идеалов групп из этого кольца. Главным абсолютным идеалом, порожденным элементом g ∈ G, называют наименьший абсолютный идеал ⟨g⟩AI , содержащий g. Теорема 1. Пусть G — жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа с фик- сированным разложением регулятора, g = ∑ τ∈T(G) rτ mτ eτ ∈ G. Тогда ⟨g⟩AI = ⟨g⟩ + ⊕ τ∈T(G) rτAτ . Заметим, что элементы rτ (τ ∈ T(G)) в представлении элемента g ∈ G определены однозначно с точностью до множителя, обратимого в Rτ . По- этому вид главного идеала ⟨g⟩AI не зависит от разложения регулятора. Теорема 2. Любая жесткая ЦРФ-группа G кольцевого типа являет- ся RAI-группой. При этом для любого α, взаимно простого с n, суще- ствует AI-кольцо (G, ×) такое, что в факторкольце (G/A, ×) выполняется d × d = αd, где d = d + A, G/A = ⟨d⟩.
A ring is said to be a ring on an abelian group G, if its additive group coincides with the group G. A subgroup of the group G is called the absolute ideal of G, if it is an ideal of every ring on the group G. If every ideal of a ring is an absolute ideal of its additive group, then the ring is called the AI-ring. If there exists at least one AI-ring on a group G, then the group G is called the RAI-group. We consider rings on almost completely decomposable abealian groups (acd-groups) in the present paper. A torsion free abelian group is an acd-group, if it contains a completely decomposable subgroup of finite rank and of finite index. Every acd-group G contains the regulator A, which is completely decomposable and fully invariant. The finite quotient group G/A is called the regulator quotient of the group G, the order of the group G/A is called the regulator index. If the regulator quotient of an acd-group is cyclic, then the group is called the crq-group. If the types of the direct rank-1 summands of the regulator A are pairwise incomparable, then the groups A and G are called rigid. If all these types are idempotent, then the group G is of the ring type. The main result of the present paper is that every rigid crq-group of the ring type is an RAI-group. Moreover, the principal absolute ideals are completely described for such groups. Let G be a rigid crq-group of the ring type. A subgroup A is the regulator of the group G, the quotient G/A = ⟨d + A⟩ is the regulator quotient and n is the regulator index. A decomposition A = ⊕ τ∈T(G) Aτ of the regulator A into a direct sum of rank-1groups Aτ determines the set T(G) = T(A) of critical types of the groups A and G. Then for every τ ∈ T(G), there exists an element eτ ∈ Aτ such that A = ⊕ τ∈T(G) Rτ eτ , where Rτ (τ ∈ T(G)) is a subring of the field of rational numbers containing the unit. Moreover, the definition of natural near-isomorphism invariants mτ (τ ∈ ∈ T(G)) of the group G naturally implies that every element g ∈ G can be written in the divisible hull of the group G in the following way g = ∑ τ∈T(G) rτ mτ eτ , where rτ are elements of the ring Rτ which are uniquely determined by a fixed decomposition of the regulator A. Every description of RAI-groups is based on a description of principal absolute ideals of the groups. The least absolute ideal ⟨g⟩AI containing an element g is called the principal absolute ideal generating by g. The following theorem describes principal absolute ideals. Theorem 1. Let G be a rigid crq-group of the ring type with a fixed decomposition of the regulator, g = ∑ τ∈T(G) rτ mτ eτ ∈ G. Then ⟨g⟩AI = ⟨g⟩ + ⊕ τ∈T(G) rτAτ . Note that the elements rτ (τ ∈ T(G)) in the representation of the element g ∈ G are determined uniquely up to an invertible factor of Rτ . Therefore, the representation of the principal absolute ideal doesn’t depend on the decomposition of the regulator. Theorem 2. Every rigid crq-group G of the ring type is an RAI-group. In this case, for every integer α соprime to n there exists an AI-ring (G, ×) such that the equality d × d = αd takes place in the quotient ring (G/A, ×), where d = d + A, G/A = ⟨d⟩.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.