chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-3-47-69cheb-1814Research ArticleСтатьиArticleПесочные паттерны на регулярном графе с вершинами степени восемьSandpile patterns on a regular graph of degree eightГранинПавел ВитальевичGraninPavel Vital’evichgranininfo@gmail.comКалининНикита СергеевичKalininNikita Sergeevichnikaanspb@gmail.comСаакянАртур СуреновичSaakyanArtur Surenovichhckray@vladloh.comСанкт-Петербургский государственный университетРоссияSaint Petersburg State UniversityRussian FederationГуандун-Технион (Шаньтоу, Китай); Технион (г. Хайфа, Израиль).КитайGuangdong Technion Israel Institute of Technology (Shantou,China); Technion-Israel Institute of Technology (Haifa, Israel).China2024060120252534769Copyright © Гранин П.В., Калинин Н.С., Саакян А.С., 20242024Гранин П.В., Калинин Н.С., Саакян А.С.Granin P.V., Kalinin N.S., Saakyan A.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1814

Система находится в критическом состоянии, если даже небольшое возмущение может привести к глобальным изменениям. Таковы, например, любые фазовые переходы: в воде, охлаждённой до нуля градусов, один центр кристаллизации быстро разрастается до большого кластера. Впервые концепцию самоорганизующейся критичности предложили Бэк, Тэнг и Вайзенфелд в 1987 году. В своей работе они описали систему, ставшую классической моделью самоорганизующейся критичности: на квадратной сетке в некоторых узлах лежат песчинки, суммарно конечное число. Если в одном из узлов лежит более трёх песчинок, происходит обвал: четыре песчинки из этого узла перераспределяется на соседние узлы, это может вызвать обвалы в них, потом в их соседях... Обвалы будут лавинообразно происходить до тех пор, пока система вновь не вернется в равновесное состояние, этот процесс называется релаксацией.В настоящей статье представлены результаты экспериментального и теоретическогоисследования следующей задачи. Рассмотрим регулярный граф, вершинами которого являются точки плоскости, обе координаты которых целые, и каждая вершина соединена с 8 ближайшими вершинами. В точку (0,0) положим большое числе песчинок и произведём релаксацию. Результат релаксации имеет очевидную фрактальную структуру, видимую в компьютерных экспериментах, и части этой структуры могут быть описаны.Мы классифицируем некоторые возникающие паттерны и предлагаем гипотезы о их устройстве (опираясь на похожие результаты для других регулярных графов). Доказаны оценки на среднее число песка в появляющихся паттернах.

The system is in critical condition if even a small disturbance can lead to global changes.These are, for example, any phase transitions: in water cooled to zero degrees, one crystallizationcenter rapidly grows to a large cluster. The concept of self-organizing criticality was first proposed by Back, Tang and Weisenfeld in 1987. In their work, they described a system that has become a classic model of self-organizing criticality: on a square grid, in some nodes, there are grains of sand, a finite number in total. If there are more than three grains of sand in one of the nodes, a toppling occurs: four grains of sand from this node are redistributed to neighboring nodes, this can cause topplings in them, then in their neighbors... Collapses will occur in anavalanche-like manner until the system returns to an equilibrium state, this process is called relaxation.This article presents the results of an experimental and theoretical study of the following problem. Consider a regular graph whose vertices are points in the plane, both coordinates of which are integers, and each vertex is connected to the 8 nearest vertices. Put a large number of grains of sand at the point (0,0) and relax. The relaxation result has an obvious fractal structure, visible in computer experiments, and parts of this structure can be described.We classify some emerging patterns and propose hypotheses about their structure (based on similar results for other regular graphs). Estimates for the average number of sand in the emerging patterns are proved.

песочные моделиэкспериментальная математика.sandpile modelsexperimental math.Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 20-71-00007).ReferencesI. Alevy and S. Mkrtchyan. The limit shape of the leaky abelian sandpile model // arXivAlevy, I. & Mkrtchyan, S. 2020, “The limit shape of the leaky abelian sandpile model”, arXiv preprint arXiv:2010.01946.preprint arXiv:2010.01946, 2020.Bou-Rabee. A. 2021, “A shape theorem for exploding sandpiles”, arXiv preprintA. Bou-Rabee. A shape theorem for exploding sandpiles. // arXiv preprint arXiv:2102.04422, 2021.arXiv:2102.04422.D. Dhar. Self-organized critical state of sandpile automaton models // Phys. Rev. Lett.,Dhar, D. 1990, “Self-organized critical state of sandpile automaton models”, Phys. Rev. Lett., 64(14):1613–1616.(14):1613–1616, 1990.Fey, A., Levine, L. & Peres, Y. 2010, “Growth rates and explosions in sandpiles”, J. Stat. Phys., 138(1-3):143–159.A. Fey, L. Levine, and Y. Peres. Growth rates and explosions in sandpiles // J. Stat. Phys., 138(1-3):143–159, 2010.Kalinin, N. & Shkolnikov, M. 2016, “Tropical curves in sandpiles”, Comptes Rendus Mathematique, 354(2):125–130.N. Kalinin and M. Shkolnikov. Tropical curves in sandpiles // Comptes Rendus Mathematique, 354(2):125–130, 2016.Kalinin, N. & Shkolnikov, M. 2018, “Introduction to tropical series and wave dynamic on them”, Discrete & Continuous Dynamical Systems-A, 38(6):2843–2865.N. Kalinin and M. Shkolnikov. Introduction to tropical series and wave dynamic on them // Discrete & Continuous Dynamical Systems-A, 38(6):2843–2865, 2018.Kalinin, N. & Shkolnikov, M. 2020, “Sandpile solitons via smoothing of superharmonicN. Kalinin and M. Shkolnikov. Sandpile solitons via smoothing of superharmonic functions. Communications in Mathematical Physics, 378(3):1649–1675, 2020.functions”, Communications in Mathematical Physics, 378(3):1649–1675.M. Lang and M. Shkolnikov. Harmonic dynamics of the abelian sandpile // Proceedings of the National Academy of Sciences, 116(8):2821–2830, 2019.Lang, M. & Shkolnikov, M. 2019, “Harmonic dynamics of the abelian sandpile”, Proceedings of the National Academy of Sciences, 116(8):2821–2830.L. Levine, W. Pegden, and C. K. Smart. Apollonian structure in the Abelian sandpile // Geom. Funct. Anal., 26(1):306–336, 2016.Levine, L., Pegden, W. & Smart, C. K. 2016, “Apollonian structure in the Abelian sandpile”, Geom. Funct. Anal., 26(1):306–336.L. Levine, W. Pegden, and C. K. Smart. The Apollonian structure of integer superharmonic matrices // Ann. of Math. (2), 186(1):1–67, 2017.Levine, L., Pegden, W. & Smart, C. K. 2017, “The Apollonian structure of integer superharmonic matrices”, Ann. of Math., (2), 186(1):1–67.A. Melchionna. The sandpile identity element on an ellipse // arXiv preprint arXiv:2007.05792, 2020.Melchionna, A. 2020, “The sandpile identity element on an ellipse”, arXiv preprintS. Ostojic. Patterns formed by addition of grains to only one site of an abelian sandpile // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 318(1):187–199, 2003.arXiv:2007.05792.W. Pegden and C. K. Smart. Convergence of the Abelian sandpile // Duke Math. J., 162(4):627– 642, 2013.Ostojic, S. 2003, “Patterns formed by addition of grains to only one site of an abelian sandpile”, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 318(1):187–199.D. Rossin. Proprietes combinatoires de certaines familles d’automates cellulaires // PhD thesis, Ph. D. Thesis, ´Ecole Polytechnique, 2000.Pegden, W. & Smart, C. K. 2013, “Convergence of the Abelian sandpile”, Duke Math. J., 162(4):627–642.K. Schmidt and E. Verbitskiy. Abelian sandpiles and the harmonic model // Communications in Mathematical Physics, 292(3):721–759, 2009.Rossin, D. 2000, “Proprietes combinatoires de certaines familles d’automates cellulaires”, PhD thesis, Ph. D. Thesis, ´ Ecole Polytechnique.Aliev, A.A., Kalinin, N.S. Convergence of a sandpile on a triangular lattice under rescaling // Matematicheskii Sbornik.- 2023.- vol. 214.- iss. 12.- pp. 3–25.Schmidt, K. & Verbitskiy, E. 2009, “Abelian sandpiles and the harmonic model”, Communications in Mathematical Physics, 292(3):721–759.Aliev, A. A., Kalinin, N. S. 2023, “Convergence of a sandpile on a triangular lattice underAliev, A. A., Kalinin, N. S. 2023, “Convergence of a sandpile on a triangular lattice underrescaling”, Sbornik: Mathematics, vol. 214, iss. 12, pp. 3-–25.rescaling”, Sbornik: Mathematics, vol. 214, iss. 12, pp. 3-–25.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.