chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-3-11-36cheb-1812Research ArticleСтатьиArticleОб одновременном представлении чисел суммой пяти простых чиселOn the simultaneous representation of numbers by the sum of five prime numbersАллаковИсмаилAllakovIsmail

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

iallakov@mail.ruЭрдоновБекмурод Холбой оглыErdonovBekmurod Kholboy ugli

базовый докторант, 

basic doctoral student

bekmurod.erdonov@mail.ruТермезский государственный университетУзбекистанTermez State UniversityUzbekistan2024060120252531136Copyright © Аллаков И., Эрдонов Б.Х., 20242024Аллаков И., Эрдонов Б.Х.Allakov I., Erdonov B.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1812

Пусть $ X-$ достаточно большое действительное число, $ b_{1},b_{2},b_{3} $- целые числа с условием $ 1\le {{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}}\le X,\,\,\, a_{ij}, (i=1,2,3;\,\,\, j=\overline{1.5})$ целые положительные числа, $p_{1},...,p_{5}-$ простые числа. Положим $ B=max\{3|a_{ij}|\} ,\,\,(i=1,2,3;\,\,j=\overline{1.5}), \vec{b} = (b_{1},b_{2},b_{3}),\,\, K=36\sqrt{3}B^{5}|\vec{b}|,\\ E_{3,5}(X)=card\{b_{i} |1\le {{b}_{i}}\le X,\,\,b_{i}\neq a_{i1}p_{1}+\cdots+a_{i5}p_{5},\,\,i=1,2,3\}$. В работе доказано, что система $b_{i}=a_{i1}p_{1}+\cdots+a_{i5}p_{5},\,\,(i=1,2,3)$ разрешимо в простых числах $p_{1},\cdots,p_{5}$, для всех троек $\vec{b}=(b_{1}, b_{2},b_{3}),\,\, 1\le {{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}}\le X$, за исключением не более чем $E_{3,5}(X)<X^{3-\varepsilon}$ троек из них, а также получена оценка снизу для $R(\vec{b})-$количество решений этой системы, то есть доказано справедливости неравенство $R(\vec{b})>> K^{2-\varepsilon}(\log K)^{-5}$, для всех $\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ за исключением не более чем $X^{3-\varepsilon}$ троек из них.

Let $X-$be a sufficiently large real number, $b_{1},b_{2},b_{3}-$be integers with the condition $1\le {{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}}\le X,\,\,\, a_{ij}, (i=1,2,3;\,\,\, j=\overline{1.5})$  positive integers, $p_{1},...,p_{5}-$prime numbers. Let us set $B=max\{3|a_{ij}|\} ,\,\,(i=1,2,3;\,\,j=\overline{1.5}), \vec{b} = (b_{1},b_{2},b_{3}),\,\, K=36\sqrt{3}B^{5}|\vec{b}|, E_{3,5}(X)=\\=card\{b_{i} |1\le {{b}_{i}}\le X,\,\,b_{i}\neq a_{i1} p_{1}+\cdots+a_{i5} p_{5},\,\,i=1,2,3\}$. In the paper it is proved that the system $b_{i}=a_{i1}p_{1}+\cdots+a_{i5}p_{5},\,\,(i=1,2,3)$ is solvable in prime numbers $p_{1},\cdots,p_{5}$, for all triples $\vec{b}=(b_{1}, b_{2},b_{3}),\,\, 1\le {{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}}\le X$, with the exception of no more than $E_{3,5}(X)$ triples of them, and a lower bound is obtained for the $R(\vec{b})-$number of solutions of this system, that is, the inequality $R(\vec{b})>> K^{2-\varepsilon}( \log K)^{-5}$ is proved to be true, for all $(b_{1},b_{2},b_{3})$ with the exception of no more than $X^{3-\varepsilon}$ triples of them.

оценкаположительная разрешимостьконгруэнт разрешимостьпостоянная Эйлераэффективная константафиксированное числопростое числосистема линейных уравненийстепенная оценкасравнения.estimatepositive solvabilitycongruent solvabilityEuler's constanteffective constantfixed numberprime numbersystem of linear equationspower estimatecomparisons.ReferencesАллаков, И. Оценка тригонометрических сумм и их приложения к решению некоторыхAllakov, I., 2021, “Estimation of trigonometric sums and their applications to the solution ofаддитивных задач теории чисел. – Термез: Сурхон нашр. 2021. 160 c.some additive problems in number theory”, Termez: Surxon nashr. 160 p.Wu Fang. On the solutions of the systems of linear equations with prime variables. ActaWu Fang. 1957, “On pairs of linear equations in three prime variables and an application toMath.Sinica.-1957.-V.7.-P.102-121.Goldbach’s problem”, J.reine angew. Math., vol.399. pp. 102–121.Liu, M. C., Tsang, K. M. On pairs of linear equations in three prime variables and an application to Goldbach’s problem, J. reine angew. Math. 399 (1989), 109-136.Liu, M. C. & Tsang, K. M. 1989, “On the solutions of the systems of linear equations withАллаков, И. Об условиях разрешимости системы линейных диофантовых уравнений в простых числах, Изв. вузов. Матем., 2006, № 9. с. 10-16.prime variables”, Acta Math.Sinica., vol.7. pp. 109–136.Аллаков, И., Исраилов, М. И. О разрешимости системы линейных уравнений в простых числах. Докл. АН РУз. –Ташкент, 1992. - № 10-11. c. 12-15.Allakov, I. 2006, “On conditions for the solvability of a system of linear Diophantine equations in prime numbers”, Izv. universities Mat., vol.9. pp. 10–16.Хуа Ло-Кен. Аддитивная теория простых чисел, Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1947, том 22, с. 3-179.Allakov, I., Israilov, M.I. 1992, “On the solvability of a system of linear equations in primeAbrayev, B.Kh., Allakov, I. On solvability conditions of a pair of linear equations with fournumbers”, Dokl. AN RUz.– Tashkent, vol.10. pp. 12–15.unknowns in prime numbers. Uzbek Mathematical journal. Tashkent. 2020. № 3. p. 16-24.Hua Lo-Ken. 1947, “Additive prime number theory”, Tr. Math. Institute named after V.A.Аллаков, И., Абраев, Б.Х. Об исключительном множестве одной системы линейных уравнений с простыми числами. Чебышевский сборник т.24 № 2. 2023. c.15-37.Steklova, vol.22. pp. 3–179.Эрдонов, Б.Х., Об условиях разрешимости системы линейных уравнений состоящей из трёх уравнений с пяты неизвестными в простых числах. Научный вестник НамГУ, 2024.Abrayev, B.Kh., Allakov, I. 2020, “On solvability conditions of a pair of linear equations with№ 4. с. 116-121.four unknowns in prime numbers”, Uzbek Mathematical journal. Tashkent, vol.3. pp. 16–24.Карацуба, А.А. Основы аналитической теории чисел. -М.: Наука, 1983. -240 с.Allakov, I., Abrayev, B.Kh. 2023, “On the exceptional set of one system of linear equations with prime numbers”, Chebyshevskii Sbornik, vol.24 № 2. pp. 15–37.Davenport, H. Multiplicative number theory. Third edition. Springer.-2000. 177 p.Erdonov, B.X. 2024, “On the conditions of solvability of a system of linear equations consisting of three equations with five unknowns in prime numbers”, Scientific bulletin of NamSU № 4. pp. 116–121.Колмогоров, А.Н., Фоми,н С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1976 г. 543 с.Karatsuba, A.A. 1983, “Fundamentals of analytic number theory”, Main editorial office ofLiu, M. C., Tsang, K. M. Small prime solutions of linear equations. Proc. Intern. Number. Th. Conf. 1987. Laval University. Cand. Math. Soc. Berlin-New York. 1989. p. 595-624.physical and mathematical literature publishing house, Nauka, M., 543 p.Hua, L. K. Additive Theory of Prime Numbers, Transl. of Math. Monographs 13, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1965. 190 p.Davenport, H. 2000, “Multiplicative number theory. Third edition”, Springer, 177 p.Hasse, H. Vorlesungen ¨uber Zahlentheorie, Grundlehren Math. Wiss. 59, Berlin-Heidelberg-New York 1964. 520 p.Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V. 1976, “Elements of the theory of functions and functionalHardy, G. H., Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed., Oxford 1979. 621 p.analysis”, Nauka, M., 240 p.Liu, M. C., Tsang, K. M. 1989, “Small prime solutions of linear equations”, Proc. Intern. Number. Th. Conf. 1987. Laval University. Cand. Math. Soc. Berlin-New York., pp. 595–624.Liu, M. C., Tsang, K. M. 1989, “Small prime solutions of linear equations”, Proc. Intern. Number. Th. Conf. 1987. Laval University. Cand. Math. Soc. Berlin-New York., pp. 595–624.Hua, L. K. 1965, “Additive Theory of Prime Numbers”, Transl. of Math. Monographs 13, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 190 p.Hua, L. K. 1965, “Additive Theory of Prime Numbers”, Transl. of Math. Monographs 13, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 190 p.Hasse, H. 1964, “Vorlesungen ¨uber Zahlentheorie”, Grundlehren Math. Wiss. 59, Berlin-Hasse, H. 1964, “Vorlesungen ¨uber Zahlentheorie”, Grundlehren Math. Wiss. 59, Berlin-Heidelberg-New York, 520 p.Heidelberg-New York, 520 p.Hardy, G. H. 1979, “An Introduction to the Theory of Numbers”, Wright E. M. , 5th ed., Oxford, 621 p.Hardy, G. H. 1979, “An Introduction to the Theory of Numbers”, Wright E. M. , 5th ed., Oxford, 621 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.