ассистент кафедры Высшей Математики — 1
professor assistant of the Department of Higher Mathematics — 1
В монографии «Universal algebra» Г. Гретцер приводит следующий пример. Пусть A — универсальная алгебра (множество с некоторым набором операций Σ). Возьмём проивольное подмножество B ⊆ A и для каждой операции f ∈ Σ (обозначим её арность через n) рассмотрим, каким образом f действует на элементы из Bn. Не обязательно f(B) ⊆ B, поэтому в общем случае B не является подалгеброй алгебры A. Если же ввести понятие частичной операции на B как отображения некоторого подмножества множества Bn в множество B, то B будет множеством с заданным на нём набором частичных операций. Такие множества называются частичными универсальными алгебрами. В нашем примере B будет частичной универсальной подалгеброй алгебры A в том смысле, что множество B будет замкнуто относительно всех частичных операций частичной алгебры B. Таким образом, частичные универсальные алгебры естественным образом возникают при изучении обычных универсальных алгебр. Понятие конгруэнции универсальной алгебры обобщается на частичные алгебры. Известно, что конгруэнции частичной универсальной алгебры A всегда образуют решётку, а если A является полной (то есть обычной) алгеброй, то решётка конгруэнций алгебры A является подрешёткой решётки отношений эквивалентности на A. Решётка конгруэнций частичной универсальной алгебры является её важной характеристикой. Для важнейших классов универсальных алгебр был получен ряд результатов, характеризующих алгебры A, не имеющие никаких конгруэнций, кроме тривиальных (отношение равенства на A и отношение A2). Оказалось, что в большинстве случаев, когда решётка конгруэнций универсальной алгебры тривиальна, сама алгебра имеет отнюдь не тривиальное строение. А что можно сказать про алгебры A, у которых решётка конгруэнций, наоборот, содержит все отношения эквивалентности на A? Оказывается, что в этом случае каждая операция f универсальной алгебры A является либо константой (|f(A)| = 1), либо проекцией (f(x1, ..., xi, ..., xn) ≡ xi). Кожуховым И. Б. были описание полугруппы, у которых каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией. Интересно обобщить эти результаты на случай частичных универсальных алгебр. В данной работе изучаются частичные n-арные группоиды G, у которых операция f удовлетворяет следующему условию: для любых элементов x1, ..., xk−1, xk+1, ..., xn ∈ G значение выражения f(x1, ..., xk−1, y, xk+1, ..., xn) определено не менее, чем для трёх различных элементов y ∈ G. Доказывается, что если каждое отношение эквивалентности на G является конгруэнцией частичного n-арного гурппоида (G, f), то при определённых условиях на G частичная операция f является константой.
G. Gr¨atzer’s gives the following example in his monograph «Universal algebra». Let A be a universal algebra (with some family of operations Σ). Let us take an arbitrary set B ⊆ A. For all of the operations f ∈ Σ (let n be the arity of f) let us look how f transformas the elements of Bn. It is not necessary that f(B) ⊆ B, so in the general case B is not a subalgebra of A. But if we define partial operation as mapping from a subset of the set Bn into the set B. then B be a set with a family of partial operations defined on it. Such sets are called partial universal algebras. In our example B will be a partial universal subalgebra of the algebra A, which means the set B will be closed under all of the partial operations of the partial algebra B. So, partial algebras can naturally appear when studying common universal algebras. The concept of congruence of universal algebra can be generalized to the case of partial algebras. It is well-known that the congruences of a partial universal algebra A always from a lattice, and if A be a full algebra (i.e. an algebra) then the lattice of the congruences of A is a sublattice of the lattice of the equivalence relations on A. The congruence lattice of a partialuniversal algebra is its important characteristics. For the most important cases of universal algebra some results were obtained which characterize the algebras A without any congruences except the trivial congruences (the equality relation on A and the relation A2). It turned out that in the most cases, when the congruence lattice of a universal algebra is trivial the algebra itself is definitely not trivial. And what can we say about the algebras A whose equivalence relation is, vice versa, contains all of the equivalence relations on A? It turns out, in this case any operation f of the algebra A is either a constant (|f(A)| = 1) or a projection (f(x1, ..., xi, ..., xn) ≡ xi). Kozhukhov I. B. described the semigroups whose equivalence relations are one-sided congruences. It is interesting now to generalize these results to the case of partial algebras. In this paper the partial n-ary groupoids G are studied whose operations f satisfy the following condition: for any elements x1, ..., xk−1, xk+1, ..., xn ∈ G the value of the expression f(x1, ..., xk−1, y, xk+1, ..., xn) is defined for not less that three different elements y ∈ G. It will be proved that if any of the congruence relations on G is a congruence of the partial n-ary groupoid (G, f) then under specific conditions for G the partial operation f is not a constant.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.