chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2015-16-4-150-163cheb-179Research ArticleСтатьиArticleО ШИРИНЕ ВЕРБАЛЬНЫХ ПОДГРУПП В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ГРУППON THE WIDTH OF VERBAL SUBGROUPS IN SOME CLASSES OF GROUPSДобрынинаИ. В.DobryninaI. V.КаганД. З.KaganD. Z.Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.Russian FederationМосковский государственный университет путей сообщения.Russian Federation201505072016164150163Copyright © Добрынина И.В., Каган Д.З., 20162016Добрынина И.В., Каган Д.З.Dobrynina I.V., Kagan D.Z.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/179

В данной работе рассматриваются вопросы о ширине собственных вербальных подгрупп для различных классов групп. Приводится обзор результатов, полученных в этом направлении. Ширина вербальной подгруп- пы V (G) равна наименьшему числу m ∈ N ∪ {+∞} такому, что всякий элемент подгруппы V (G) записывается в виде произведения не более чем m значений слов V ±1 . Рассматриваются результаты о ширине вербальных подгрупп для свободных произведений и других свободных групповых конструкций, таких как свободные произведения с объединением и HNN-расширения. А. Х. Ремтулла решил вопрос об условиях бесконечности ширины всякой собственной вербальной подгруппы в свободных произведениях групп. В. Г. Бардаков и И. В. Добрынина получили аналогичные результаты для свободных произведений с объединением и HNN-расширений, в которых связные подгруппы отличны от базовой группы. Также В. Г. Бардаков полностью решил вопрос о ширине вербальных подгрупп в группе кос. Для некоторых классов групп получены результаты о ширине коммутантных вербальных подгрупп, порожденных словами из коммутанта. Р. И. Григорчук определил условия бесконечности коммутантных вербальных подгрупп в свободных произведениях с объединением и HNN- расширениях, в которых связные подгруппы отличны от базовой группы. Д. З. Каганом получены соответсвующие результаты о ширине коммутантных вербальных подгрупп для групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением с нетривиальным центром. Авторами были получены результаты о бесконечности ширины вербальных подгрупп для групп, обладающих определенными копредставлениями, а также для аномальных произведений различных типов групп. В статье также рассматриваются различные результаты о вербальных подгруппах в группах Артина и Кокстера, в граф-группах.

 

 

 

 

In this paper the problem of the width for verbal subgroups in different classes of groups is considered. We give a review the results obtained in this direction. The width of the verbal subgroups V (G) is equal to а least value of m ∈ N ∪ {+∞} such that every element of the subgroup V (G) is represented as the product of at most m values of words V ±1 . The results about the width of verbal subgroups for free products and other free group constructions, such as free products with amalgamation and HNN-extensions are indicated. A. H. Rhemtulla solved the question of conditions for infinity of the width of any proper verbal subgroups in free products. V. G. Bardakov and I. V. Dobrynina received similar results for the free products with amalgamation and HNN-extensions, for which associated subgroups are different from the base group. Also, V. G. Bardakov completely solved the problem of the width of verbal subgroups in the group of braid. Many mathematicians studied the width of verbal subgroups generated by words from commutator subgroup for some classes of groups. R. I. Grigorchuk found conditions for infinity such verbal subgroups of free products with amalgamation and HNN-extensions, for which associated subgroups are different from the base group. D. Z. Kagan obtained the corresponding results on width of verbal subgroups generated by words from commutator subgroup for groups with one defining relation and two generators, having a non-trivial center. Authors obtained the results about infinity of the width of verbal subgroups for groups with certain presentations, as well as for anomalous products of various types of groups. Also many results about verbal subgroups of Artin and Coxeter groups and graph groups are considered in the article.

 

ширина вербальной подгруппысвободные произведения с объединениемHNN-расширенияwidth of verbal subgroupamalgamated free productsHNNextensionsРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект N15-41-03222 р_центр_а.ReferencesМерзляков Ю. И. Рациональные группы. М.: Наука, 1987.Merzlyakov, Y. I. 1987, "Rational groups" , Moscow: Nauka.Мерзляков Ю. И. Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп // Алгебра и логика. 1967. Т. 6, №1. С. 83–94.Merzlyakov, Y. I. 1967, "Algebraic linear groups as full groups of automorphisms and closure of their verbal subgroups" Algebra and logic, vol. 6, no.1, рр. 83–94.Rhemtulla A. H. A problem of bounded expressibility in free products // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1968. V. 64, № 3. P. 573–584.Bardakov, V. G. 1997, "On the width of verbal subgroups of some free constructions" Algebra and logic, vol. 36, no. 5, рр. 494–517.Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций // Математические заметки. 1996. Т. 59, №4. С. 546–550.Rhemtulla, A. H. 1968, "A problem of bounded expressibility in free products" , Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 64, no. 3, рр. 573–584.Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, №5. С. 494–517.Grigorchuk, R. I. 1996, "Bounded cohomology of group constructions" , Mat. Zametki, vol. 59, no. 4, рр. 546–550.Добрынина И. В. О ширине в свободных произведениях с объединением // Математические заметки. 2000. Т. 68, №3. С. 353–359.Dobrynina, I. V. 2000, "On the width in free products with amalgamation" , Mat. Zametki, vol. 68, no. 3, рр. 353–359.Faˇiziev V. A. A problem of expressibility in some amalgamated products of groups // J. Austral. Math. Soc. 2001. V. 71. P. 105–115.Faˇiziev V. A. 2001, "A problem of expressibility in some amalgamated products of groups" , J. Austral. Math. Soc., vol. 71, рр. 105–115.Добрынина И. В. Решение проблемы ширины в свободных произведениях с объединением // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т. 15, №1. С. 23–30.Dobrynina, I. V. 2009, "Solution of the width problem in amalgamated free products" , Fundam. Prikl. Mat., vol. 15, no. 1, рр. 23–30.Добрынина И. В., Безверхний В. Н. О ширине в некотором классе групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением // Труды института математики и механики УрО РАН. 2001. Т.7, №2. С. 95–102.Dobrynina, I. V. & Bezverkhnii, V. N. 2001, "On width in some class of groups with two generators and one defining relation" , Proc. Steklov Inst. Math. Algebra. Topology, suppl. 2, рр. 53–60.Каган Д. З. Ширина вербальных подгрупп для групп с одним определяющим соотношение //Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: материалы XIII Межд. конференции. Тула, 2015. С. 76–78.Kagan D. Z. 2015, "Width of verbal subgroups for groups with one defining relation" , XIII International Conference "Algebra, number theory and discrete geometry: Modern Problems and Application" , Tula, рр. 76–78.Каган Д. З. Псевдохарактеры на свободных группах, инвариантные относительно некоторых типов эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т.17, №2. С. 167–176.Kagan, D. Z. 2012, "Pseudocharacters on free groups, invariant with respect to some types of endomorphisms" , Fundam. Prikl. Mat., vol. 17, no. 2, рр. 167– 176.Ito N. A. A theorem of alternating group An (n ≥ 5) // Math. Japon. 1951. V. 2, №2. C. 59–60.Ito, N. A. 1951, "A theorem of alternating group An (n ≥ 5)" , Math. Japon, vol. 2, no. 2, рр. 59–60.Ore S. Some remarks on commutators // Proc. Amer. Math. Soc. 1951. V. 2. P. 307–314.Ore, S. 1951, "Some remarks on commutators" , Proc. Amer. Math. Soc., vol. 2, рр. 307–314.Каган Д. З. О существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях групп // Вестник МГУ. 2004. №6. C. 24–28.Kagan, D. Z. 2004, "On the existence of non-trivial Pseudocharacters on anomalous products of groups" , Vestnik MGU, no. 6, рр. 24–28.Каган Д. З. Псевдохарактеры на аномальных произведениях локально ин- дикабельных групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т.12, №3. C. 55–64.Kagan, D. Z. 2006, "Pseudocharacters on anomalous products of locally indicable groups" , Fundam. Prikl. Mat., vol. 12, no. 3, рр. 55–64.Глухов М. М., Зубов А. Ю. О длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих // Математические вопросы кибернетики. 1999. №8. C. 5–32.Gluhov, M. M. & Zubov, A.Y. 1999, "On the lengths of the symmetric and alternating groups of substitutions in the different systems forming" , Mathematical questions of cybernetics, no. 8, pp. 5–32.Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 10-е изд. Новосибирск, 1986.Kourov’s Writing-Book. 1986, "Unsolved problems in group theory" , 10th edition, Novosibirsk.Репин Н. Н. О коммутаторных уравнениях в группах B3 и B4. // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвузовский сборник научных трудов. Тула, 1986. С. 114–117.Repin, N. N. 1986, "On the commutator equations in the groups B3 and B4" , Algorithmic problems in group theory and semigroups, Tula, рр. 114–117.Семенов Ю. С. О коммутаторах в группах кос // 10-й Всесоюзный симпозиум по теории групп: тезисы докладов. Минск, 1986. С. 207.Semenov, Y. S. 1986, "On the commutators in braid groups, The 10th All-Union symposium on group theory" . Abstracts, Minsk, pp. 207.Дурнев В. Г. О ширине коммутанта групп кос B3 и B4 // Деп. в ВИНИТИ. 1987. №4040-В87.Durnev, V. G. 1987, "On the width of the commutator subgroup of the braid groups B3 и B4" , Dep. v VINITI, no 4040–V87.Дурнев В. Г., Шалашов В. К. О ширине коммутанта групп кос B3 и B4 // 19- я Всесоюзная алгебраическая конференция: тезисы докладов. Львов, 1987. С. 89.Durnev, V. G. & Shalashov, V. K. 1987, "On the width of the commutator subgroup of the braid groups B3 и B4" , The 19th All-Union algebraic conference. Abstracts, Lviv, p. 89.Бардаков В. Г. К теории групп кос // Математический сборник. 1992. Т. 183, №6. С. 3–42.Bardakov, V. G., 1992, "On the theory of braid groups" , Mat. Sb., vol. 183, no. 6, рр. 3–42.Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Артина, групповые и метрические свойства отображений // Сборник работ, посв. памяти Ю. И. Мерзлякова. Новосибирск, 1995. C. 8– 18.Bardakov, V. G., 1995, "The width of verbal subgroups of certain Artin groups, group and metric properties of mappings" , The collection of papers dedicated to the memory of Y. I. Merzlyakov, Novosibirsk, pp. 8–18.Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы конечной ширины в группах Артина с двумя образующими // Чебышевский сборник. 2002. Т. 3, №1 (3). С. 11–16.Bezverkhnii, V. N. & Dobrynina, I. V. 2002, "Solution of the finite width problem in Artin groups with two generators" , Chebyshevskii Sb., vol. 3, no. 1(3), рр. 11–16.Myasnikov A., Nikolaev A. Verbal subgroups of hyperbolic groups have infinite width // J. Lond. Math. Soc.-Second Ser. Т. 90, № 2. С. 573–591.Myasnikov, A. & Nikolaev, A. 2014, "Verbal Subgroups of Hyperbolic Groups Have Infinite Width" , J. Lond. Math. Soc.-Second Ser., vol. 90, no. 2, рр. 573– 591.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.