Данная работа состоит из двух основных частей. В первой части, которая представлена введением, дается достаточно полный обзор теории гиперболической дзета-функции решёток. Отличие от более ранних обзоров состоит в том, что, во-первых, большинство результатов общей теории конкретизирована к двумерному случаю. Это сделано потому, что основная цель работы — это решётки квадратичных по- лей. А эти решётки являются двумерными. Во-вторых, впервые получены в явном виде функциональные уравне- ния для гиперболической дзета-функции одномерных и двумерных диагональных решёток. Во второй части исследуется поведение гиперболической дзета-функции решётки Λ(t) квадратичного поля при росте параметра t. Для приложений теории гиперболической дзета-функции решёток к вопросам оценки погрешности приближенного интегрирования на классе Eα s с помощью обобщенных параллелепипедальных сеток с весами важно иметь оценку через растущий детерминант решётки. В данной работе получена новая асимптотическая формула для гиперболической дзета-функции решётки квадратичного поля. Особенностью этой формулы является то, что она имеет двучленный главный член и остаточный член с оценкой входящих констант. В этой формуле более выпукло выявлена связь между гиперболической дзета-функцией решётки квадратичного поля и такими характеристиками квадратичного поля как: дзета-функция Дедекинда главных идеалов квадратичного поля, произ- водной дзета-функции Дедекинда главных идеалов квадратичного поля, регулятором квадратичного поля и фундаментальной единицей квадратичного поля.
This work consists of two main parts. In the first part, which presents the introduction, given a fairly comprehensive overview of the theory of the hyperbolic Zeta-function of lattices. Unlike earlier reviews is that, firstly, most of the results of the General theory particularized to two-dimensional case. This is done because the main goal of this lattice is quadratic fields. And these lattices are two-dimensional. Secondly, the first explicit form of the functional equation for hyperbolic Zeta-function of one and two diagonal lattices. In the second part we investigate the behavior of the hyperbolic Zetafunction of the lattice Λ(t) of the quadratic field when the growth parameter t. For applications of the theory of hyperbolic Zeta-function lattices to estimate the error of the approximate integration on the class of Eα s by using generalized parallelepipedal nets with weights it is important to have assessment through growing the determinant of the lattice. In this work, we derived a new asymptotic formula for the hyperbolic Zeta function lattices of quadratic fields. The peculiarity of this formula is that it has a main two-term member and remaining a member with the assessment of incoming constants. In this formula more specific correlation between the hyperbolic Zeta function of lattices of quadratic fields and quadratic field characteristics as: the Zeta function of the Dedekind principal ideals of a quadratic field, the derivative of the Zeta-function of Dedekind principal ideals of a quadratic field, quadratic field by the regulator and the fundamental unit of the quadratic field.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.