chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2015-16-4-77-89cheb-176Research ArticleСтатьиArticleКВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛQUADRATIC FORMS, ALGEBRAIC GROUPS AND NUMBER THEORYГлазуновН. М.GlazunovN. M.National Aviation UniversityUkraine2015040720161647789Copyright © Глазунов Н.М., 20162016Глазунов Н.М.Glazunov N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/176

Целью статьи является обзор некоторых важных результатов в теории квадратичных форм и алгебраических групп, которые оказали и оказывают влияние на развитие теории чисел. Статья ориентирована на избран- ные задачи и не является исчерпывающей. Представлены математические структуры, методы и результаты, в том числе и новые, связанные в той или иной степени с исследованиями В. П. Платонова. Содержание статьи следующее. Во введении обращено внимание на классические исследования Коркина, Золотарева и Вороного по теории экстремальных форм и напоминаются соответствующие определения. В разделе "Квадратичные формы и решетки" представлены необходимые определения, результаты о решетках и квадратичных формах над полем вещественных чисел и над кольцом целых рациональных чисел. Раздел 3 "Алгебраические группы" содержит представление классов решеток в ве- щественных пространствах как факторов алгебраических групп, а также вариант критерия Малера компактности таких факторов. Приведен результат о компактности факторов ортогональных групп квадратичных форм, не представляющих рационально нуля, а также определения и понятия, связанные с кватернионными алгебрами над рациональными числами. Приведенные результаты явно или неявно используются в работах В. П. Платонова, а также в разделах 4 и 5. Раздел 4 "Точки Хигнера и их обобщения" содержит краткий обзор новых исследований в направлении нахождения точек Хигнера и их обобщений. В разделе 5 кратко представлены некоторые новые исследования и результаты по принципу Хассе для алгебраических групп. Для чтения статьи может быть полезным знакомство со статьей автора, опубликованной в 3-м выпуске "Чебышевского сборника" за 2015 год. Я глубоко признателен Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

 

The aim of the article is an overview of some important results in the theory of quadratic forms, and algebraic groups, and which had an impact on the development of the theory of numbers. The article focuses on selected tasks and is not exhaustive. A mathematical structures, methods and results, including the new ones, related in some extent with research of V.P. Platonov. The content of the article is following. In the introduction drawn attention to the classic researches of Korkin, Zolotarev and Voronoi on the theory of extreme forms and recall the relevant definitions. In section 2 "Quadratic forms and lattices"presented the necessary definitions, the results of the lattices and quadratic forms over the field of real numbers and over the ring of rational integers. Section 3 "Algebraic groups"contains a representation of the class of lattices in a real space as factors of algebraic groups, as well as the version of Mahler’s compactness criterion of such factors. Bringing the results of the compactness of factors of orthogonal groups of quadratic forms which do not represent zero rationally, and the definitions and concepts related to the quaternion algebras over rational numbers. These results explicitly or implicitly are used in the works of V. P. Platonov and in sections 4 and 5. Section 4 "Heegner points and their generalizations" provides an overview of new research in the direction of finding Heegner points and their generalizations. Section 5 summarizes some new research and results on the Hasse principle for algebraic groups. For the reading of the article may be a useful another article which has published by the author in the Chebyshevsky sbornik, vol. 16, no. 3, in 2015. I am deeply grateful to N. M. Dobrovolskii for help and support under the preparation of the article for publication.

 

положительно определенная квадратичная форматело над полем рациональных чиселконечномерная алгебрапринцип Хассежесткостьточка Хигнераpositive definite quadratic formfinite-dimensional associative division algebra over rationalsHasse principlerigidityHeegner pointReferencesKorkin A., Zolotarev G. Sur les formes quadratiques positives quaternaires // Math. Ann. 1872. Vol. 5. P. 581–583.Korkin A., Zolotarev G. 1872, “Sur les formes quadratiques positives quaternaires”, Math. Ann., vol. 5, 581–583.Korkin A., Zolotarev G. Sur les formes quadratiques // Math. Ann. 1873. vol. 6. P. 366–389.Korkin A., Zolotarev G. 1873, “Sur les formes quadratiques”, Math. Ann., vol. 6, 366–389.Korkin A., Zolotarev G. Sur les formes quadratiques positives // Math. Ann. 1877. Vol. 11. P. 242–292.Korkin A., Zolotarev G. 1877, “Sur les formes quadratiques positives”, Math. Ann., vol. 11, 242–292.Voronoi G. Sur quelques proprietes des formes quadratiques positives parfaites // J. Reine Angew. Math. 1907. Vol. 133. P. 97–178.Voronoi G. 1907, “ Sur quelques proprietes des formes quadratiques positives parfaites”, J. Reine Angew. Math., vol. 133, P. 97–178.Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. МИАН СССР. 1962. Т. 65. С. 3–212.Malyshev A. V. 1962, “On the representation of integers by positive quadratic forms”, Trudy Mat. Inst. Steklov., ed. I. G. Petrovskii, Acad. Sci. USSR, Moscow, vol. 65, P. 3–212.Рышков С. С., Барановский Е. П. Классические методы теории решетчатых упаковок // УМН. 1979. Т. 34, вып. 4. 208. С. 3–63.Ryshkov S. S., Baranovskii E. P. 1979, “Classical methods in the theory of lattice packings”, Uspekhi Mat. Nauk, vol. 34, no. 4, P. 3–63.Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 422 с.Cassels J. W. S. An Introduction to the Geometry of Numbers. — Berlin, Springer-Verlag, 1959.Blichfeldt H. F. The minimum values of quadratic forms, and the closest packing of spheres // Math. Ann. Vol. 39.1935. P. 1–15.Blichfeldt H. F. 1935, “The minimum values of quadratic forms, and the closest packing of spheres”, Math. Ann., vol. 39, P. 1–15.Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982. 436 с.Cassels J. W. S. Rational quadratic forms. – London-New York, Academic Press, 1978.Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 1. Т. 2. М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1988. 352 с. 304 с.Shapharevich I. R. 1988, "Foundations of Algebraic Geometry" , vol. 1, vol. 2. (in Russian), Moscow, Nauka, 352 p., 304 p.Платонов В. П. Арифметические свойства функциональных квадратичных полей и кручение в якобианах // Чебышевский сборник. 2010. Т.11, вып. 1. С. 234–238.Platonov V. P. 2010, “Arithmetic properties of quadratic function fields and torsion in Jacobians”, Chebyshevskii Sb., vol. 11, no. 1, P. 234–238.Платонов В. П. Арифметическая теория линейных алгебраических групп и теория чисел // Труды МИАН. 1973. Т. 132. С.162–168.Platonov V. P. 1973, “The arithmetic theory of linear algebraic groups and number theory”, Proc. Steklov Inst. Math., 132, P. 184–191.Платонов В. П. Проблема Таннака–Артина и приведенная K-теория // Изв. АН СССР, сер. мат. 1976. Т. 40, №2. С. 227–261.Platonov V. P. 1976, “The Tannaka–Artin problem and reduced K-theory”, Math. USSR-Izv., vol. 40, no. 2, P. 211–243.Платонов В. П. 1976, Замечания к моей работе “Проблема Таннака–Артина и приведенная K-теория"// Изв. АН СССР, сер. мат. 1976. Т. 40, №5. С. 1198.Platonov V. P. 1976, “Remarks on my paper ‘The Tannaka–Artin problem and reduced K -theory”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 40, no.5, P. 1198.Боревич З. И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. 510 с.Borevich Z. I, Shapharevich I. R., Number Theory(in Russian). — Moscow: Nauka, 1985. 503 p.Манин Ю. И. Кубические формы. М.: Наука, 1972. 304 с.Manin Ju. I. Kubicheskie Formy, (in Russian). – Moscow: Nauka, 1972. 304 p. Cubic forms. Algebra, geometry, arithmetic, North-Holland, 1974.Hasse principle. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.orgHasse principle. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopedia ofmath.orgBirch B. Heegner points: the beginnings // MSRI Publications. 2004. Vol. 40. P. 1–10.Birch B. 2004, “Heegner points: the beginnings MSRI Publications, vol. 40, P. 1– 10.Darmon H. Integration on Hp×H and arithmetic applications // Ann. of Math. 2001. 154. No. 3. 589 – 639.Darmon H. 2001, “Integration on Hp × H and arithmetic applications Ann. of Math. 2, 154, no. 3, 589 –639.Guitart X., Masdeu M. Overconvergent cohomology and quaternionic Darmon points // J. Lond. Math. Soc. II. 2014. Ser. 90. No. 2. P.393–403.Guitart X., Masdeu, M. 2014, “Overconvergent cohomology and quaternionic Darmon points”, J. Lond. Math. Soc., II, ser. 90, no. 2, P.393–403.Greenberg M. Stark-Heegner points and the cohomology of quaternionic Shimura varieties // Duke Math. J. 2009. 147. No. 3. P. 541–575.Greenberg M. 2009, “Stark-Heegner points and the cohomology of quaternionic Shimura varieties, Duke Math. J., 147, no. 3, P. 541–575.Pollack D., Pollack R. A construction of rigid analitic cohomology classes for congruence subgroups of SL3(Z) // Canad. J. Math. 2009. 61. No. 3. P. 674–690.Pollack D., Pollack R. 2009, “A construction of rigid analitic cohomology classes for congruence subgroups of SL3(Z)”, Canad. J. Math., 61, no. 3, P. 674–690.Yong H. Hasse principle for simply connected group over function fields of surfaces // J. Ramanujan Math. 2014. 29. No. 2. P. 155–199.Yong H. 2014, “Hasse principle for simply connected group over function fields of surfaces”, J. Ramanujan Math., 29, no. 2, P. 155–199.Colliot-Th`el`ene J.-I., Parimala R., Suresh V. Patching and local-global principles for homogeneous spaces over function fields of p-adic curves // Commut. Math. Helv. 2012. 87. P. 1011–1033.Colliot-Th`el`ene J.-I., Parimala R., Suresh V. 2012, “Patching and local-global principles for homogeneous spaces over function fields of p-adic curves”, Commut. Math. Helv., 87, 1011–1033.Preeti R. Classification theorems for hermitien forms, the Rost kernel and Hasse principle over fields with cd2(k) 6 3, // J. Algebra. 2013. 385. P. 294–313.Preeti R. 2013, Classification theorems for hermitien forms, the Rost kernel and Hasse principle over fields with cd2(k) 6 3, J. Algebra, 385, 294–313.Bayer-Fluckiger E., Parimala R. Galois cohomology of the classical groups over fields of cohomological dimension 6 2 // Invent. Math. 1995. 122. P. 195–229.Bayer-Fluckiger E., Parimala R. 1995, Galois cohomology of the classical groups over fields of cohomological dimension 6 2, Invent. Math., 122, 195–229.Merkurjev A. Norm principle for algebraic groups // St. Petersburg J. Math. 1996. 7. P. 243–264.Merkurjev A. 1996, Norm principle for algebraic groups, St. Petersburg J. Math., 7, 243–264.Glazunov N. M. Minkowski’s Conjecture on Critical Lattices and the Quantifier Elimination // Algoritmic algebra and logic. Proc. of the A3L Int. Conf. Passau. Germany. 2005. P. 111–114.Glazunov N. M. 2005, “Minkowski’s Conjecture on Critical Lattices and the Quantifier Elimination”, Algoritmic algebra and logic. Proc. of the A3L Int. Conf., Passau, Germany, P. 111–114.Glazunov N. M. Critical lattices, elliptic curves and their possible dynamics // Proceedings of the Third Int. Voronoj Conf. Part 3, Kiev. 2005. P. 146–152.Glazunov N. M. 2005, “Critical lattices, elliptic curves and their possible dynamics”, Proceedings of the Third Int. Voronoj Conf., Part 3, Kiev, P. 146– 152.Glazunov N. M. Modular curves, Hecke operators, periods and formal groups // X International Conference dedicated to the 70th anniversary of Yu. A. Drozd. Odessa: I.I. Mechnikov Odessa National University, 2015. C. 42.Glazunov N. M. 2015, “Modular curves, Hecke operators, periods and formal groups”, X International Conference dedicated to the 70th anniversary of Yu. A. Drozd. Odessa: I. I. Mechnikov Odessa National University, P. 42.Glazunov N. M. Extremal forms and rigidity in arithmetic geometry and in dynamics // Чебышевский сборник. 2015. Т.16, вып. 3. С. 124–146.Glazunov N. M. 2015, “Extremal forms and rigidity in arithmetic geometry and in dynamics”, Chebyshevskii Sbornik, vol.16, no. 3, P.124–146.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.