chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-2-269-285cheb-1745Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceНеосесимметричная задача дифракции цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи границы упругого полупространстваA non-axisymmetric diffraction problem of cylindrical sound waves on an elastic cylinder with an inhomogeneous coating located near the boundary of an elastic half-spaceДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comЕфимовДмитрий ЮрьевичEfimovDmitrii Yurevich

аспирант

postgraduate student

bogart.efimov@yandex.ruТолоконниковЛев АлексеевичTolokonnikovLev Alexeevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

tolokonnikovla@mail.ruТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation202419072024252269285Copyright © Добровольский Н.Н., Ефимов Д.Ю., Толоконников Л.А., 20242024Добровольский Н.Н., Ефимов Д.Ю., Толоконников Л.А.Dobrovol’skii N.N., Efimov D.Y., Tolokonnikov L.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1745

В статье рассматривается задача дифракции цилиндрической звуковой волны на однородном изотропном упругом цилиндре с радиально-неоднородным упругим покрытием, расположенном вблизи границы полупространств в случае, когда линейный источник находится в плоскости, параллельной поверхности полупространства, и не является параллельным оси цилиндра. Полагается, что цилиндр находится в полупространстве, заполненном идеальной однородной жидкостью, граничащем с однородным упругим полупространством.Для представления рассеянного поля в идеальной жидкости используется представление в виде интеграла Гельмгольца-Кирхгофа. Колебания неоднородного изотропного упругого тела описываются уравнениями линейной теории упругости. Для нахождения поля смещений в неоднородном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.На основе решения прямой задачи рассмотрена обратная задача об определении законов неоднородности покрытия, обеспечивающих наименьшее звукоотражение в заданномчастотном диапазоне. Построен функционал, выражающий усредненную интенсивностьрассеяния звука в заданном диапазоне частот. Построенный функционал записывается ввиде двойного интеграла, оценить который аналитически не представляется возможным.Полученный интеграл рассчитан численно по квадратурной формуле на основе параллепипедальной сетки Коробова.Представлены численные расчеты угловых характеристик рассеянного поля. Выявленосущественное влияние непрерывно-неоднородных покрытий на дифракционную картину рассеянного поля.

The article considers the problem of diffraction of a cylindrical sound wave on a homogeneousisotropic elastic cylinder with a radially inhomogeneous elastic coating located near theboundary of half-spaces in the case when the linear source is in a plane parallel to the surface of the half-space and is not parallel to the axis of the cylinder. It is assumed that the cylinder is located in a half-space filled with an ideal homogeneous liquid bordering on a homogeneous elastic half-space.To represent the scattered field in an ideal liquid, a representation in the form of the Helmholtz-Kirchhoff integral is used. The oscillations of an inhomogeneous isotropic elastic body are described by the equations of the linear theory of elasticity. To find the displacement field in an inhomogeneous coating, a boundary value problem for a system of second-orderordinary differential equations is constructed.Based on the solution of the direct problem, the inverse problem of determining the laws of coating heterogeneity that provide the least sound reflection in a given frequency range is considered. A functional is constructed expressing the average intensity of sound scattering in a given frequency range. The constructed functional is written in the form of a double integral, which cannot be evaluated analytically. The resulting integral is calculated numerically using a quadrature formula based on a parallelepipedal Korobov grid.Numerical calculations of the angular characteristics of the scattered field are presented.A significant effect of continuously inhomogeneous coatings on the diffraction pattern of the scattered field has been revealed.

дифракциязвуковые волныоднородный упругий цилиндрнеоднородное упругое покрытиепараллелепипедальные сетки Коробова.diffractionsound wavesuniform elastic cylinderinhomogeneous elastic coatingparallelepipedal Korobov grids.Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ соглашение № 073- 00033-24-01 от 09.02.2024 тема научного исследования «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике»ReferencesИванов В. П. Анализ поля дифракции на цилиндре с перфорированным покрытием //Ivanov, V.P. 2006. “Analysis of the field diffracted by a cylinder with a perforated coating”,Акустический журн. 2006. Т. 52. № 6. С. 791-798.Acoustical Physics vol. 52, no 6, pp. 683-690.Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акустический журн.Bobrovnitskii, Yu. I. 2008. “A nonscattering coating for a cylinder”, Acoustical Physics, vol. 54, no 6, pp. 758-768.Т. 54. № 6. С. 879-889.Kosarev, O. I. 2012. “Diffraction of sound by an elastic cylindrical shell with a coating”, Probl. Mashinostr. Nadezh. Mashin, vol. 46, no 1, pp. 34-37, [in Russian].Косарев О. И. Дифракция звука на упругой цилиндрической оболочке с покрытием //Larin, N. V. & Tolokonnikov, L. A. 2015. “The scattering of a plane sound wave by an elasticПроблемы машиностроения и надежности машин. 2012. Т. 46. № 1. С. 34-37.cylinder with a discrete-layered covering”, J. Appl. Math. Mech., vol. 79. no 2, pp. 164-169.Ларин Н. В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.Romanov, A. G. & Tolokonnikov, L. A. 2011. “The scattering of acoustic waves by a cylinderРоманов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.with a non-uniform elastic coating”, J. Appl. Math. Mech., vol. 75, no. 5, pp. 595-600.Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265-274.Tolokonnikov, L. A. 2013. “Scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a non-uniform covering”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2-2,Lee F. A. Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder // Acustica. 1963. Vol. 13, № 3. P. 26–31.pp. 265-274, [in Russian].Толоконников Л. А., Ефимов Д.Ю. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упру-Lee F. A. 1963. “Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder”, Acustica, vol. 13, no. 3. pp. 26-31.гом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием // Чебышевcкий сборник. 2021. Т.Tolokonnikov, L. A. & Efimov, D.Yu. 2021. “ Diffraction of cylindrical sound waves by anВып. 1. С. 460-472.elastic cylinder with radially inhomogeneous coating”, Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 1, pp. 460-472, [in Russian].Корсунский С. В. Неосесимметричная задача дифракции цилиндрических звуковых волн на абсолютно жестком цилиндре // Акустический журн. 1988. Т. 34. № 3. С. 481-484.Korsunskii, S. V. 1988. “The non-axisymmetric diffraction problem of cylindrical sound waves on an absolutely rigid cylinder“, Akust. Zhurnal, vol. 34, no. 3, pp. 481-484, [in Russian].Толоконников Л. А., Ефимов Д.Ю. Рассеяние упругим цилиндром с неоднородным покрытием звуковых волн, излучаемых произвольно расположенным линейным источником // Математическое моделирование. 2024. Т. 36. №1. С. 71-84.Tolokonnikov, L. A. & Efimov, D.Yu. 2024. “Scattering by an elastic cylinder with anТолоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 276-289.inhomogeneous coating of sound waves emitted by an arbitrarily located linear source”,Толоконников Л. А., Ефимов Д.Ю. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием, находящимся вблизи плоской поверхности // Чебышевcкий сборник. 2020. Т. 21. Вып. 4. С. 369-381.Mathematical modeling, vol. 36, no. 1, pp. 71-84, [in Russian].Шендеров Е. Л. Дифракция звука на упругом цилиндре, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства // Акустический журн. 2002. Т. 48. № 2. C. 266-276.Tolokonnikov, L. A. 2018. “Diffraction of a plane sound waves by an elastic cylinder with anТолоконников Л. А., Ефимов Д.Ю. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре сnon-uniform coating situated near to a flat surface”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki ,неоднородным покрытием, расположенном вблизи поверхности упругого полупростран-no. 9, pp. 276-289, [in Russian].ства // Прикладная математика и механика. 2021. Т. 85. Вып. 6. С. 779-791.Tolokonnikov, L. A. & Efimov D.Yu. 2020. “Scattering of a plane sound waves by an elasticФелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т. 2. М.: Мир, 1978. 557 с.cylinder with an non-uniform coating situated near to a flat surface”, Chebyshevskii sbornik,Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника,1968. 584 с.vol. 21, no. 4, pp. 369-381, [in Russian].Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.Shenderov, E. L. 2002. “Diffraction of sound by an elastic cylinder near the surface of an elastic halfspace”, Acoustical Physics, vol. 48, no. 2, pp. 225–234.Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.Tolokonnikov, L. A. & Efimov, D.Yu. 2021. “Diffraction of sound waves at an elastic cylinderЕфимов Д.Ю. Дифракция звука от точечного источника на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи упругой границы // Чебышевcкий сборник.2023. Т. 24. Вып. 5. С. 289-306.with an inhomogeneous coating in the vicinity of the boundary of an elastic half-space”,Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.Mechanics of Solids, vol. 56, no. 8, pp. 1657-1667.Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.Felsen, L. B., Marcuvitz, N. 1973. “Radiation and scattering of waves”, Prentice-Hall, Inc.,Завьялов Ю.С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука,1980, 352 с.Englewood Cliffs, New Jersey.Толоконников Л. А., Ефимов Д.Ю. Моделирование неоднородного анизотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение звука // Чебышевcкий сборник. 2022. Т. 23. Вып. 1. С. 293-311.Ivanov, E.A. 1968. “Diffraction of electromagnetic waves by two bodies”, Nauka i tekhnika,Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Физматлит, 1978. 512 с.Minsk, 584 p., [in Russian].Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.Brekhovskikh, L. M. 1973. “Waves in Layered Media”, Nauka, Moscow, 344 p., [in Russian].Добровольский Н. Н., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А., Ларин Н. В. О применении теоретико-числовых сеток в задачах акустики // Чебышевcкий сборник. 2021. Т. 22. Вып. 3. С. 368-382.Shenderov, E. L. 1972, “Wave problems of underwater acoustics”, Sudostroenie, Leningrad, 352 p. [in Russian].Efimov, D.Yu. 2023, “Diffraction of sound from a point source on an elastic cylinder with anEfimov, D.Yu. 2023, “Diffraction of sound from a point source on an elastic cylinder with aninhomogeneous coating located near the elastic boundary”, Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 289-306, [in Russian].inhomogeneous coating located near the elastic boundary”, Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 289-306, [in Russian].Nowacki, W. 1973. “Teoria sprezystosci”, PWN, Warszawa.Nowacki, W. 1973. “Teoria sprezystosci”, PWN, Warszawa.Kurant, R. 1964. “Partial Differential Equations”, Mir, Moscow, 830 p., [in Russian].Kurant, R. 1964. “Partial Differential Equations”, Mir, Moscow, 830 p., [in Russian].Zavyialov, Yu. S., Kvasov, B. I. & Miroshnichenko, V. L. 1980. “Spline function methods”, Nauka, Мoscow, 352 p., [in Russian].Zavyialov, Yu. S., Kvasov, B. I. & Miroshnichenko, V. L. 1980. “Spline function methods”, Nauka, Мoscow, 352 p., [in Russian].Tolokonnikov, L. A. & Efimov D.Yu. 2022. “Modeling the inhomogeneous anisotropic coating of an elastic cylinder that provides minimal sound reflection”, Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 293–311, [in Russian].Tolokonnikov, L. A. & Efimov D.Yu. 2022. “Modeling the inhomogeneous anisotropic coating of an elastic cylinder that provides minimal sound reflection”, Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 293–311, [in Russian].Kalitkin, N. N. 1978. “Numerical methods”, Fizmatgiz, Moscow, 512 p., [in Russian].Kalitkin, N. N. 1978. “Numerical methods”, Fizmatgiz, Moscow, 512 p., [in Russian].Korobov, N. M. 2004. “Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis]”, 2nd ed., MTSNMO, Moscow, Russia.Korobov, N. M. 2004. “Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis]”, 2nd ed., MTSNMO, Moscow, Russia.Dobrovol‘skii, N. N., Skobel‘tsyn, S. A., Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. 2021. “About application of number-theoretic grids in problems of acoustics”, Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 368-382, [in Russian].Dobrovol‘skii, N. N., Skobel‘tsyn, S. A., Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. 2021. “About application of number-theoretic grids in problems of acoustics”, Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 368-382, [in Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.