Методы дифференциальной геометрии находят применения в исследовании информационных массивов (семейств вероятностных распределений пространств квантовых состояний, нейронных сетей и т.п.). Исследования по информационной геометрии восходят к С. Рао, который на основе фишеровской информационной матрицы определил риманову метрику на многообразии распределений вероятностей. Дальнейшие исследования привели к понятию статистического многообразия. Статистическое многообразие это гладкое конечномерное многообразие, на котором задана метрически-аффинная структура, т.е. риманова метрика и линейная связность без кручения, совместимая с заданной метрикой; при этом вы- полняется условие Кодацци. Геометрическое многообразие в том числе и статистическое многообразие задается структурным тензором. В предлагаемом исследовании рассматриваются статистические структуры, порождаемые рандомизированными плотностями нормального распределения и распределения Коши. В основу исследования положено утверждение о том, что рандомизированную плотность вероятности нормального распределения можно рассматривать как решение задачи Коши для уравнения теплопроводности, а рандомизированную плотность веро- ятности распределения Коши можно рассматривать как решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Обратно, решение задачи Коши для уравнения теплопроводности можно рассматривать как рандомизирован- ную плотность вероятности нормального распределения, а решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа как рандомизированную плотность вероятности распределения Коши. Основная задача работы состояла в том, чтобы для каждого из этих двух случаев найти компоненты информационной матрицы Фишера и структурного тензора. Для преодоления вычислительных трудностей, нами обнаружены нелинейные дифференциальные уравнения первого, второго и третьего порядков для плотности нормального распределения и плотности Коши. Компоненты метрического тензора (информационной матрицы Фишера) и компоненты тензора деформации вычисляются по формулам, в которых присутствует функция правдоподобия, т.е. логарифм от плотности распределения. Из положительной определенности информационной матрицы Фишера получаются неравенства, которым заведомо удовлетворяют решения задачи Коши с неотрицательными начальными условиями в случае уравнения Лапласа и уравнения теплопроводности.
Differential geometry methods of have applications in the information files study (families of probability distributions of spaces of quantum states, neural networks, etc.). Research on geometry information back to the S. Rao that based by Fisher information matrix defined the Riemannian metric of probability distributions manifold. Further investigation led to the concept of statistical manifold. Statistical manifold is a smooth finite-dimensional manifold on which a metrically-affine structure, ie, metric and torsion-free linear connection that is compatible with a given metric; while the condition Codazzi. Geometric manifold and the manifold is given statistical structure tensor. In the present study examines the statistical structure of the generated randomized density of the normal distribution and the Cauchy distribution. The study put the allegation that a randomized probability density of the normal distribution can be regarded as the solution of the Cauchy problem for the heat equation, and randomized probability density of the Cauchy distribution can be considered as a solution to the Dirichlet problem for the Laplace equation. Conversely, the solution of the Cauchy problem for the heat equation can be regarded as a randomized probability density of the normal distribution, and the solution of the Dirichlet problem for the Laplace equation as randomized probability density of the Cauchy distribution. The main objective of the study was the fact that for each of these two cases to find the Fisher information matrix components and structural tensor. We found nonlinear differential equations of the first, second and third order for the density of the normal distribution and Cauchy density computational difficulties to overcome. The components of the metric tensor (the Fisher information matrix) and the components of the strain tensor are calculated according to formulas in which there is the log-likelihood function, ie, logarithm of the density distribution. Because of the positive definiteness of the Fisher information matrix obtained inequality, which obviously satisfy the Cauchy problem solution with nonnegative initial conditions in the case of the Laplace equation and the heat equation.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.