chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-2-139-168cheb-1736Research ArticleСтатьиArticleАсимптотическая формула в проблеме Варинга с почти пропорциональными слагаемымиAsymptotic formula in the Waring’s problem with almost proportional summandsРахмоновЗарулло ХусеновичRakhmonovZarullo Khusenovich

доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистана

doctor of physical and mathematical sciences, professor,academician of the NAS of Tajikistan

zarullo-r@rambler.ruРахмоновФируз ЗаруллоевичRakhmonovFiruz Zarulloevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

rakhmonov.firuz@gmail.comИнститут математики им. А. ДжураеваТаджикистанA. Dzhuraev Institute of MathematicsTajikistan202419072024252139168Copyright © Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З., 20242024Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З.Rakhmonov Z.K., Rakhmonov F.Z.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1736

При 𝑛 ⩾ 3 получена асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального 𝑁 в виде суммы 𝑟 = 2𝑛 + 1 слагаемых, каждое из которых является 𝑛-ой степенью натуральных чисел 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 𝑟, удовлетворяющих условиям

где 𝜇1, . . . , 𝜇𝑟 — положительные фиксированные числа и 𝜇1 +. . .+𝜇𝑛 = 1. Этот результат является усилением теоремы Е. М. Райта.

For 𝑛 ≥ 3, an asymptotic formula is derived for the number of representations of a sufficientlylarge natural number 𝑁 as a sum of 𝑟 = 2𝑛 + 1 summands, each of which is an 𝑛-th power ofnatural numbers 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 𝑟, satisfying the conditions

where 𝜇1,

where 𝜇1, . . . , 𝜇𝑟 are positive fixed numbers, and 𝜇1 +. . .+𝜇𝑛 = 1. This result strengthens the theorem of E.M.Wright.

проблема Варингапочти пропорциональные слагаемыекороткая тригонометрическая сумма Г. Вейлямалая окрестность центров больших дуг.Waring problemalmost proportional summandsshort exponential sum of G. Weylsmall neighborhood of centers of major arcs.ReferencesWright E. M. Proportionality conditions in Waring’s problem // Mathematische Zeitschrift.Wright E. M., 1934, “Proportionality conditions in Waring’s problem”, MathematischeV. 38. P. 730 – 746.Zeitschrift, vol. 38, pp. 730-746.Wright E. M. An extension ofWaring’s problem // Philos. Trans. R. Soc. Lond. 1933. Ser. A 232. P. 1 – 26.Wright E. M., 1933, “An extension of Waring’s problem”, Philosophical Transactions of theDirk Daemen. The asymptotic formula for localized solutions in Waring’s problem andRoyal Society of London, Series A, vol. 232. pp. 1-26.approximations to Weyl sums // Bull. London Math. Soc., 2010. V. 42. P. 75 – 82.Dirk Daemen, 2010., “The asymptotic formula for localized solutions in Waring’s problem and approximations to Weyl sums”, Bull. London Math. Soc., vol. 42, pp. 75-82.Dirk Daemen. Localized solutions in Waring’s problem: the lower bound // Acta Arithmetica.Dirk Daemen, 2010, “Localized solutions in Waring’s problem: the lower bound”, ActaV. 142. № 2. P. 129 – 143.Arithmetica, vol. 142, pp. 129-143.Dirk Daemen. On sums of 13 ‘almost equal’ cubes // Quart. J. Math. 2010. V. 61, P. 29 – 32.Dirk Daemen, 2010, “ On sums of 13 ‘almost equal’ cubes”, Quart. J. Math., vol. 61, pp. 29-32. doi:10.1093/qmath/han024Рахмонов З. Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2014. Т. 95. вып. 3. С. 445 – 456.Rakhmonov, Z. Kh., 2014, “The Estermann cubic problem with almost equal summands“,Рахмонов З. Х., Назрублоев Н. Н., Рахимов А. О. Короткие суммы Г.Вейля и их прило-Mathematical Notes, vol. 95, Is. 3-4, pp. 407–417. doi.org/10.1134/S0001434614030122.жения // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16. В. 1(53). С. 232 – 247.Rakhmonov Z. Kh., & Nazrubloev N. N., Rakhimov A.O., 2015, “Short Weyl sums and theirРахмонов З. Х., Азамов А. З., Назрублоев Н. Н. Короткие тригонометрические суммы Г.applications”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 16, Is. 1, pp. 232–247, (in Russian).Вейля в малых дугах // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2018 г. Т. 61.Rakhmonov Z. Kh., & Azamov A.Z., Nazrubloev N. N., 2018, “Of short Weyl’s exponential sum in minor arcs”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 61, no 7-8, pp. 609-614, (in Russian).№ 7-8. С. 609–614.Rakhmonov Z. Kh., & Mirzoabdugafurov K. I., 2008, “Waring’s problem for cubes with almost equal summands”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 51, no 2, pp. 83-86, (in Russian).Рахмонов З. Х., Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2008. Т. 51. № 2. С. 83 – 86.Rakhmonov Z. Kh., & Azamov A.Z., 2011, “An asymptotic formula in Waring’s problem forРахмонов З. Х., Азамов А. З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для чет-fourth powers with almost equal summands”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan,вертых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республикиvol. 54, no 3, pp. 34-42, (in Russian).Таджикистан. 2011. Т. 54. № 3. С. 34 – 42.Rakhmonov Z. Kh., & Nazrubloev N. N., 2014, “Waring’s problem for fifth powers with almost equal summands”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 57, no 11-12, pp. 823-830, (in Russian).Рахмонов З. Х., Назрублоев Н. Н. Проблема Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 11 – 12. С. 823 – 830.Rakhmonov Z. Kh., 2003, “Estermann’s ternary problem with almost equal summands”,Рахмонов З. Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2003. Т. 74. вып. 4. С. 564 – 572.Mathematical Notes, vol. 74, Is. 4, pp. 534-542. doi.org/10.1023/A:1026199928464.Рахмонов Ф. З., Рахимов А. О. Об одной аддитивной задаче с почти равными слагае-Rakhmonov F. Z., & Rakhimov A. O., 2015, “On an additive problem with almost equalмыми // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежнымsummands”, Issledovaniya po algebre, teorii chisel, funktsional’nomu analizu i smezhnymвопросам. Издательство: Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. ISSN: 1810-4134. 2016. № 8. С. 87 – 89.voprosam. Izdatel’stvo: Saratovskiy natsional’nyy issledovatel’skiy gosudarstvennyy universitet im. N.G. Chernyshevskogo, ISSN: 1810-4134, no 8, pp. 87–89, (in Russian).Рахмонов З. Х. Обобщение проблемы Варинга для девяти почти пропорциональных кубов // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24. № 3. С. 71-94Rakhmonov Z. Kh., 2023, “Generalization of Waring’s problem for nine almost proportionalVaughan R. C. Some remarks onWeyl sums // Topics in Classical Number Theory, Colloquia. Math. Soc. Janos Bolyai, 34. 1981. P. 1585 – 1602.cubes”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 24, Is. 3, pp. 71–94, (in Russian).Карацуба А. ,А., Королёв М. А. Теорема о замене тригонометрической суммы более короткой // Известия РАН. Cерия математическая. 2007. Т. 71. № 2. С. 123 – 150.Vaughan R. C., 1981, “Some remarks on Weyl sums”, Topics in Classical Number Theory,Вон Р. Метод Харди–Литтлвуда — Москва: Мир, 1985.Colloquia. Math. Soc. Janos Bolyai, 34. 1981. P. 1585 – 1602.Хуа Ло-Ген Метод тригонометрических сумм и её применения в теории чисел — Москва: Мир, 1964.Karatsuba A. A. & Korolev M. A. 2007. “A theorem on the approximation of a trigonometricАрхипов Г. И., Карацуба A. A., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрическихsum by a shorter one”, Izvestiya: Mathematics, 71(2), pp. 341 – 370.сумм — Москва: Наука. 1987 г.Vaughan R. C., 1981. “The Hardy-Littlewood method”, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 80, Cambridge University Press, Cambridge, 172 p.Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. ч. 1. Основные операцииHua Loo-Keng, 1964. “Method of Trigonometric Sums and Its Applications in Number Theory”, Nauka, Moscow, 190 p. (Russian translation); Absch¨atzungen von Exponentialsummen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie. 2. v¨ollig neu bearb. Auf, Enzyklop¨adie Math. Wiss. Band. I,анализа — Изд. 2–е. Перев. с англ. Москва: Физматгиз, 1963 г. -342 с.Teil, Heft 13, Art. 29. Leipzig: B. G. Teubner Verlag. 123 S. (1959).Arkhipov G. I. & Chubarikov V. N. & Karatsuba A. A. 2004. “Trigonometric sums in numberArkhipov G. I. & Chubarikov V. N. & Karatsuba A. A. 2004. “Trigonometric sums in numbertheory and analysis”, Berlin–New-York: Walter de Gruyter, 554 p.theory and analysis”, Berlin–New-York: Walter de Gruyter, 554 p.Whittaker G. E., & Watson T. N., 1915. “A Course of Modern Analysis. Part 1.”, The processes of analysis. Part 2. The transcendental functions, Cambridge, Cambridge University Press, 620.Whittaker G. E., & Watson T. N., 1915. “A Course of Modern Analysis. Part 1.”, The processes of analysis. Part 2. The transcendental functions, Cambridge, Cambridge University Press, 620.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.