chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-1-217-231cheb-17Research ArticleСтатьиArticleОЦЕНКА КОРОТКИХ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С «ДЛИННЫМ» СПЛОШНЫМ СУММИРОВАНИЕМESTIMATES OF SHORT CUBIC DOUBLE EXPONENTIAL SUMS WITH A LONG CONTINUOUS SUMMATIONРахмоновЗ. Х.RakhmonovZ. Kh.

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент АН Республики Таджикистан, директор

doctor of physical andmathematical sciences, professor, corresponding member of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, director of the Dzhuraev

zarullo-r@rambler.ruРахмоновФ. З.RakhmonovF. Z.

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан, директор 

Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Senior Researcher of theDzhuraev

rakhmonov.firuz@gmail.comЗамоновБ. М.ZamonovB. M.

научный сотрудник, Институт математики им. А. Джураева Академии наук Республики Таджикистан

Junior Researcher of the Dzhuraev

zamonov@mail.ruИнститута математики Таджикской АНРоссияInstitute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of TajikistanRussian FederationИнститут математики им. А. Джураева Академии наук Республики ТаджикистанРоссияInstitute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of TajikistanRussian Federation201603052016171217231Copyright © Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З., Замонов Б.М., 20162016Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З., Замонов Б.М.Rakhmonov Z.K., Rakhmonov F.Z., Zamonov B.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/17

И. М. Виноградов первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида Sk(α; x, y) = X x−y<n6x Λ(n)e(αnk), α = a q + λ, |λ| 6 1 qτ , 1 6 q 6 τ. при k = 1, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетриви- альную оценку при exp(c(ln ln x)2) ≪ q ≪ x1/3, y > x2/3+ε, основу которой наряду с «решетом Виноградова», при k = 1 составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида Jk(α; x, y,M,N) = X M<m62M a(m) X U<n62N x−y<mn6x b(n)e(α(mn)k), где a(m) и b(n) – произвольные комплекснозначные функции, M, N – натуральные, N 6 U < 2N, x > x0, y – вещественные числа. Затем Хейзелгроув, В. Статулявычус, Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо, Чжан Тао получили нетривиальную оценку суммы S1(α; x, y), y > xθ, q — произвольное, и доказали асимптотическую формулу в тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми с условиями |pi − N/3| 6 H, H = Nθ, соответственно при θ = 63 64 + ε, 279 308 + ε, 2 3 + ε, 5 8 + ε.  Сумму J2(α; x, y,M,N) изучили Дж. Лю и Чжан Тао и получили нетривиальную оценку суммы S2(α; x, y) при y > x 11 16+ε.  Работа посвящена выводу нетривиальных оценок сумм J3(α; x, y,M,N), в которых имеется «длинная» сплошная сумма на малых дугах.

I. M. Vinogradov pioneered the study of short exponential sums with primes. For k = 1 using his method of estimating sums with primes, he obtained a non-trivial estimate for sums of the form Sk(α; x, y) = X x−y<n6x Λ(n)e(αnk), α = a q + λ, |λ| 6 1 qτ , 1 6 q 6 τ when exp(c(ln ln x)2) ≪ q ≪ x1/3, y > x2/3+ε, This estimate is based on “Vinogradov sieve” and for k = 1 utilizes estimates of short double exponential sums of the form Jk(α; x, y,M,N) = X M<m62M a(m) X U<n62N x−y<mn6x b(n)e(α(mn)k), where a(m) and b(n) are arbitrary complex-valued functions, M, N are positive integers, N 6 U < 2N, x > x0, y are real numbers. Later, B. Haselgrove, V. Statulyavichus, Pan Cheng-Dong and Pan Cheng-Biao, Zhan Tao obtained a nontrivial estimate for the sum S1(α; x, y), y > xθ, where q was an arbitrary integer, and successfully proved an asymptotic formula for ternary Goldbach problem with almost equal summands satisfying |pi − N/3| 6 H, H = Nθ, respectively when θ = 63 64 + ε, 279 308 + ε, 2 3 + ε, 5 8  + ε. J. Liu and Zhan Tao studied the sum J2(α; x, y,M,N) and obtained a non-trivial estimate for the sum S2(α; x, y) when y > x 11 16+ε. This paper is devoted to obtaining non-trivial estimates for the sum J3(α; x, y,M,N), with a “long” continuous summation over minor arcs.

короткая двойная тригонометрическая суммаметод оценок тригонометрических сумм с простыми числаминетривиальная оценкаShort double exponential sumsNontrivial estimateEstimation Method for short exponential sums over primesReferencesВиноградов И. М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР. 1952.Vinogradov I. M. 1985, “Selected work”, Berlin–New York: Springer-Verlag, 401 p.Haselgrove C.B. Some theorems in the analytic theory of number // J. London Math.Soc. 26 (1951), pp. 273–277. doi: 10.1112/jlms/s1-26.4.273Haselgrove C.B. 1951, “Some theorems in the analitic theory of number”, J. London Math.Soc., 26, 273–277. doi: 10.1112/jlms/s1-26.4.273Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс. Ученые труды университета. сер. мат., физ. и хим. н. 1955. № 2. С. 5–23.Statulyavichus V. 1955, “On the representation of odd numbers as the sum of three almost equal prime numbers”, Vilnius, Uchenie trudi universiteta, Ser. mat. fiz. i khim. nauk, no 3, pp. 5–23.Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 1990, v.2, pp. 138–147.Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, 1990, “On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III)”, Chinese Ann. of Math., vol.2, pp. 138–147.Zhan T. On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser., 1991, v. 7, No 3, pp. 135–170. doi: 10.1007/BF02583003Zhan T. 1991, “On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes”, Acta Math Sinica, new ser., vol. 7, No 3, 135–170. doi: 10.1007/BF02583003Liu J. Y., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I // Mh Math, 1999, 127: pp. 27–41. doi: 10.1007/s006050050020Liu J. Y., Zhan T. 1999, “Estimation of exponential sums over primes in short intervals I.”, Mh. Math, 127: 27–41. doi:10.1007/s006050050020Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами // Доклады Академии наук. 2014. Т. 459. № 2. С. 156–157. doi: 10.7868/S0869565214320085Rakhmonov Z. Kh., Rakhmonov F. Z. 2014, “Sum of Short Exponential Sums over PrimeРахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2013. Т. 56. № 11. С. 853–860.Numbers”, Doklady Mathematics, vol. 90, No. 3, pp. 1–2.doi:10.1134/S1064562414070138Рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами // Вестник Московского университета. 2011. Серия 1: Математика. Механика. № 3. С. 56–60.Rakhmonov F. Z. 2011, “Estimate of quadratic trigonometric sums with prime numbers”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 66, no 3, pp. 129–132. doi: 10.3103/S0027132211030107Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука. 1983. 2-е изд. 240 с.Rakhmonov Z. Kh., Rakhmonov F. Z. 2013, “The sum of short double trigonometric sums”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 56, no. 11, pp. 853–860.Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука. 1976. 122 с.Karatsuba A. A. 1993, “Basic Analytic Number Theory”, Springer-Verlag Berlin Heidlberg, 223 pp.Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22. № 7. С. 391–393.Vinogradov I. M. 1976, “Special Variants of the Method of Trigonometric Sums”, Moscow: Nauka, 122 p.Mardjhanashvili K. K. 1939, “An estimate for an arithmetic sum”, Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 22, no 7, pp. 391-393.Mardjhanashvili K. K. 1939, “An estimate for an arithmetic sum”, Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 22, no 7, pp. 391-393.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.