Классическая теорема М

cheb

Чебышевский сборник

Chebyshevskii Sbornik

2226-8383

Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University

10.22405/2226-8383-2015-16-2-66-78

cheb-168

Research Article

Статьи

Article

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФОРМАЛЬНАЯ ГРУППА, ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКУЮ ФУНКЦИЮ УРОВНЯ 3

THE UNIVERSAL FORMAL GROUP THAT DEFINES THE ELLIPTIC FUNCTION OF LEVEL 3

Бухштабер

В. М.

Buchstaber

V. M.

Бунькова

Е. Ю.

Bunkova

E. Yu.

Steklov Institute of Mathematics, Russian Academy of SciencesRussian Federation

2015

04072016

1626678

2016

Бухштабер В.М., Бунькова Е.Ю.

Buchstaber V.M., Bunkova E.Y.

Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/168

Классическая теорема М

Классическая теорема М. Лазара (см. [1]) о структуре кольца коэф фициентов универсальной формальной группы является ключевым ре зультатом теории одномерных формальных групп. Открытие формальной группы геометрических кобордизмов ([2], [3]) и теорема Д. Квиллена ([4]) о том, что её можно отождествить с универсальной формальной группой, позволили ввести теорию формальных групп в аппарат алгебраической топологии, включая аппарат теории родов Хирцебруха. Широко извест но обязанное этому фундаментальное взаимопроникновение методов и ре зультатов алгебраической топологии (см. [5]), алгебраической геометрии, теории функциональных уравнений и математической физики. Важные приложения в алгебраической топологии нашли результаты теории эллиптических функций и функций Бейкера–Ахиезера, играющие фундаментальную роль в современной теории интегрируемых систем. Актуальным стало построение универсальных формальных групп за данного вида, экспоненты которых задаются этими функциями. Извест ные результаты в этом направлении используют как классические, так и полученные недавно, теоремы сложения, определяющие вид формальных групп. В настоящей работе решена давно стоявшая задача: найден вид уни версальной формальной группы, экспонентой которой является эллипти ческая функция уровня 3. Получены результаты о кольце коэффициентов этой группы, описаны её связи с известными универсальными формаль ными группами.

The classical theorem of M. Lazar (see [1]) on the structure of the ring of coefficients of the universal formal group is a key result of the theory of onedimensional formal groups. The discovery of the formal group of geometric cobordisms ([2], [3]) and D. Quillen’s theorem ([4]) that it can be identified with the universal formal group allowed to introduce the theory of formal groups in the apparatus of algebraic topology, including the apparatus of the theory of Hirzebruch genera. Due to this there has been a widely-known fundamental mutual penetration of methods and results of algebraic topology, (see [5]), algebraic geometry, the theory of functional equations and mathematical physics. Important applications in algebraic topology found results of the theory of elliptic functions and Baker–Akhiezer functions, which play a fundamental role in the modern theory of integrable systems. The construction of universal formal groups of given form, with exponents given by these functions, became actual. Known results in this direction use both classic and recently obtained addition theorems, that determine the form of formal groups. In this paper we solved a long standing problem: we have found the form of universal formal group the exponent of which is the elliptic function of level 3. We have obtained results on the coefficient ring of this group and described its relationship with known universal formal groups.

формальные группыэллиптическая функция уровня 3

formal groupselliptic function of level 3

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ (грант № 14-11-00414).

References1

M. Lazard Sur les groupes de Lie formels a un parametre // Bull. Soc. Math. France. 1955. Vol. 83. P. 251–274.

Lazard, M. 1955., "Sur les groupes de Lie formels a un parametre" , Bull. Soc. Math. France., vol. 83, pp. 251–274.

В. М. Бухштабер, А. С. Мищенко, С. П. Новиков Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топологии // УМН. 1971. Т. 26, № 2. С. 131–154.

Buhstaber, V. M., Miscenko, A. S. & Novikov, S. P. 1971, "Formal groups and their role in the apparatus of algebraic topology" (Russian) Uspehi Mat. Nauk, vol. 26, no. 2(158), pp. 131—154.

С. П. Новиков Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов // Известия АН СССР, серия матем.. 1967. Т. 31, №

Novikov, S. P. 1967, "Methods of algebraic topology from the point of view of cobordism theory" (Russian) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 31, № 4, pp. 855— 951.

С. 855–951. 4. D. Quillen On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory // Bull. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 75, № 6. P. 1293–1298.

Quillen, D. 1969, "On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory" , Bull. Amer. Math. Soc., vol. 75, № 6, pp. 1293–1298.

В. М. Бухштабер Комплексные кобордизмы и формальные группы // УМН. 2012. Т. 67, № 5(407). С. 111–174.

Bukhshtaber, V. M. 2012, "Complex cobordisms and formal groups" (Russian) Uspekhi Mat. Nauk, vol. 67, no. 5(407), pp. 111–174; translation in Russian Math. Surveys, vol. 67 (2012), no. 5, pp. 891—950.

E. T. Whittaker, G. N. Watson A Course in Modern Analysis. 1990. 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press.

Whittaker, E. T. & Watson, G. N. 1990, "A Course in Modern Analysis." , 4th ed.Cambridge, England: Cambridge University Press.

В. М. Бухштабер, А. В. Устинов Кольца коэффициентов формальных групп // Матем. сборник (в печати).

Buchstaber, V. M. & Ustinov, A. V. "Rings coefficients formal groups" , Mat. Sb. (in the press).

В. М. Бухштабер Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы // УМН. 1990. Т. 45, № 3(273). С. 185–186.

Bukhshtaber, V. M. 1990, "Functional equations that are associated with addition theorems for elliptic functions, and two-valued algebraic groups" (Russian) Uspekhi Mat. Nauk, vol. 45, no. 3(273), pp. 185–186; translation in Russian Math. Surveys, vol. 45 (1990), no. 3, pp. 213—215.

F. Hirzebruch Elliptic genera of level N for complex manifolds // Prep. MPI. P. 88–24.

Hirzebruch, F. "Elliptic genera of level N for complex manifolds" Prep. MPI., pp. 88–24.

F. Hirzebruch, T. Berger, R. Jung Manifolds and Modular Forms. 1992. Braunschweig: Vieweg.

Hirzebruch, F., Berger, T. & Jung, R. 1992, "Manifolds and Modular Forms." , Braunschweig: Vieweg.

И. М. Кричевер Обобщенные эллиптические роды и функции Бейкера–Ахиезера // Мат. Заметки. 1990. Т. 47, № 2. С. 34–45; I. M. Krichever Generalized elliptic genera and Baker–Akhiezer functions // Math. Notes. 1990. Vol. 47, № 2. P. 132–142.

Krichever, I. M. 1990, "Generalized elliptic genera and Baker-Akhiezer functions" (Russian) Mat. Zametki, vol. 47, no. 2, pp. 34–45, 158; translation in Math. Notes, vol. 47 (1990), no. 1-2, pp. 132—142.

J. Barr von Oehsen Elliptic genera of level N and Jacobi polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 122. P. 303–312.

von Oehsen, J. Barr 1994, "Elliptic genera of level N and Jacobi polynomials" , Proc. Amer. Math. Soc., vol. 122. pp. 303–312.

M. Hazewinkel Formal Groups and Applications. 1978. Academic Press, New York– San Francisco–London.

Hazewinkel, M. 1978, "Formal Groups and Applications." Academic Press, New York – San Francisco – London.

В. М. Бухштабер, Е. Ю. Бунькова Формальные группы Кричевера // Функц. анализ и его прил. 2011. Т. 45, № 2. С. 23–44; Funct. Anal. Appl. 2011. Vol. 45, № 2. P. 99–116.

Bukhshtaber, V. M. & Bun’kova, E. Yu. 2011, "Krichever formal groups" (Russian. Russian summary) Funktsional. Anal. i Prilozhen. vol. 45, no. 2, pp. 23–44; translation in Funct. Anal. Appl., vol. 45 (2011), no. 2, pp. 99—116.

В. М. Бухштабер, Е. Ю. Нетай CP(2)-мультипликативные роды Хирцебруха и эллиптические когомологии // УМН. 2014. Т. 69, № 4(418). С. 181–182; Russian Math. Surveys. 2014. Vol. 69, № 4. P. 757–759.

Buchstaber, V. M. & Netay, E. Yu. 2014, "CP(2)-multiplicative Hirzebruch genera and elliptic cohomology" ,Uspekhi Mat. Nauk, vol. 69, № 4(418), pp. 181–182; Russian Math. Surveys. 2014. Vol. 69, № 4, pp. 757–759.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.