кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
В статье изучаются свойства решеток конгруэнций алгебр с одним оператором и основной операцией меньшинства, определенной специальным образом и называемой симметрической. Операцией меньшинства называется тернарная операция 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑧), удовлетворяющая тождествам 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑦, 𝑥) = 𝑑(𝑦, 𝑥, 𝑦) = 𝑥. Алгебра называется цепной, если она имеет линейно упорядоченную решетку конгруэнций. Алгебра подпрямо неразложима, если она имеет наименьшую ненулевую конгруэнцию. Алгеброй с операторами называется универсальная алгебра, сигнатура которой состоит из двух непустых непересекающихся частей: основной, которая может содержать произвольные операции, и дополнительной, состоящей из операторов. Операторами называются унарные операции, действующие как эндоморфизмы относительно основных операций, то есть перестановочные с основными операциями. Унаром называется алгебра с одной унарной операцией. Если 𝑓 — унарная операция из сигнатуры Ω, то унар ⟨𝐴, 𝑓⟩ называется унарным редуктом алгебры ⟨𝐴,Ω⟩.Получено описание алгебр с одним оператором и основной симметрической операцией, решетка конгруэнций которых является цепью. Показано, что алгебра данного класса является цепной тогда и только тогда, когда она подпрямо неразложима. Получено описание алгебр данного класса, решетки конгруэнций которых совпадают с решетками конгруэнций унарных редуктов этих алгебр.
In this paper we study properties of congruence lattices of algebras with one operator and the main symmetric operation. A ternary operation 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑧) satisfying identities 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑦, 𝑥) = 𝑑(𝑦,𝑥,𝑦)= 𝑥 is called a minority operation. The symmetric operation is aminority operation defined by specific way. An algebra 𝐴 is called a chain algebra if 𝐴 has a linearly ordered congruence lattice. An algebra 𝐴 is called subdirectly irreducible if 𝐴 has the smallest nonzero congruence. An algebra with operators is an universal algebra whose signature consists of two nonempty non-intersectional parts: the main part which can contain arbitrary operations, and the additional part consisting of operators. The operators are unary operations that act as endomorphisms with respect to the main operations, i.e., one are permutable with the main operations. An unar is an algebra with one unary operation. If 𝑓 is the unary operation from the signature Ω then the unar ⟨𝐴, 𝑓⟩ is called an unary reduct of algebra ⟨𝐴,Ω⟩.A description of algebras with one operator and the main symmetric operation that have a linear ordered congruence lattice is obtained. It shown that algebra of given class is a chain algebra if and only if one is subdirectly irreducible. For algebras of given class we obtained necessary and sufficient conditions for the coincidence of their congruence lattices and congruence lattices of unary reducts these algebras.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.