chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2024-25-1-62-102cheb-1678Research ArticleСтатьиArticleИсследование структуры слоения Лиувилля интегрируемого эллиптического биллиарда с полиномиальным потенциаломResearch of the structure of the Liouville foliation of an integrable elliptical billiard with polynomial potentialПустовойтовСергей ЕвгеньевичPustovoitovSergey Evgenievich

аспирант,

postgraduate student

pustovoitovse1@mail.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation20242404202425162102Copyright © Пустовойтов С.Е., 20242024Пустовойтов С.Е.Pustovoitov S.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1678

В работе рассматривается плоский биллиард, ограниченный эллипсом, в поле потенциальной силы. Была найдена явная формула полиномиального потенциала, сохраняющегоинтегрируемость такого биллиарда. Для него была изучена структура слоения Лиувилля на всех неособых уровнях энергии с помощью метода разделения переменных. А именно, был предложен алгоритм, который строит бифуркационную диаграмму, а также инвариант Фоменко-Цишанга, исходя из значений параметров потенциала. Кроме того, была изучена топология изоэнергетического многообразия и обнаружены случаи динамики твердого тела, лиувиллево эквивалентные нашему биллиарду.

In this paper we consider a planar billiard bounded by an ellipse in the potential force field.An explicit formula of the polynomial potential preserving integrability of such a billiard was found. The structure of the Liouville foliation at all non singular energy levels was studied using the method of separation of variables. Namely, an algorithm that constructs the bifurcation diagram and the Fomenko-Zieschang invariants from the values of the parameters of the potential was proposed. In addition, the topology of the isoenergetic manifold was studied and the cases of rigid body dynamics, which are Liouville equivalent to our billiard, were established.

интегрируемая гамильтонова системабиллиардполиномиальный потенциалслоение Лиувилляинвариант Фоменко-Цишанга.integrable Hamiltonian systembilliardpolynomial potentialLiouville foliationFomenko-Zieschang invariant.Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 22-71-10106 в МГУ им. М.В.Ломоносова. Автор является стипендиатом фонда «БАЗИС»ReferencesБиркгоф Дж. Динамические системы М.;Л.; Гостехиздат, 1941.Birkhoff, G., 1966. “Dynamical systems”, American Mathematical Society. Colloquium publications. Vol. IX, 305 pp.Якоби К. Лекции по динамике. М.; Гостехиздат, 1936.Edited by Clebsch, A., 2009. “Jacobi’s lectures on dynamics”, Hindustan book agency, New Delhi, 2nd edition, 339 pp.V. Kaloshin, A. Sorrentino, On the local Birkhoff conjecture for convex billiards, Ann. of Math. 2018. 188, No1. 315–380.Kaloshin, V., Sorrentino, A., 2018. “On the local Birkhoff conjecture for convex billiards”, Ann. of Math.. 188, No 1. pp. 315–380.A. A. Glutsyuk, On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature, Journal of the European Mathematical Society, 2021. 23, No 3. 995–1049.Glutsyuk, A.A., 2021. “On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature”, Journal of the European Mathematical Society, 23, No 3. pp. 995–1049.Фокичева В. В., Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик, Матем. сб., 206:10 (2015), 127-176.Fokicheva, V. V., “A topological classification of billiards in locally planar domains bounded by arcs of confocal quadrics”, Sb. Math., 206:10 (2015), pp. 1463–1507.В. В. Ведюшкина, И. С. Харчева, Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем, Матем. сб., 209:12 (2018), 17-56Vedyushkina, V. V., Kharcheva, I. S., 2021. “Billiard books realize all bases of Liouville foliations of integrable Hamiltonian systems”, Mat. Sb., 212:8, pp. 89-–150; Sb. Math., 212:8, pp. 1122-–1179.В. А. Кибкало, А.Т. Фоменко, И. С. Харчева, Реализация интегрируемых гамильтоновых систем бильярдными книжками, Тр. ММО, 82:1 (2021), 45–78Kibkalo V. A., Fomenko A. T., Kharcheva I. S., 2021. “Realization of integrable Hamiltonial systems by billiard books”, Transactions of the Moscow Mathematical Society, 80.M. Bialy, A. E. Mironov, Algebraic non-integrability of magnetic billiards / J. Phys. A, 49:45 (2016), 455101, 18 pp.Bialy, M., Mironov, A. E., 2016. “Algebraic non-integrability of magnetic billiards”, J. Phys. A, 49:45, 455101, 18 pp.В. В. Ведюшкина, С. Е. Пустовойтов, “Классификация слоений Лиувилля интегрируемых топологических биллиардов в магнитном поле”, Матем. сб., 214:2 (2023), 23–57Vedyushkina V. V., Pustovoitov S. E., 2023. “Classification of liouville foliations of integrable topological billiards in magnetic fields”, Sbornik Mathematics, Vol. 214, no. 2. pp. 166—196.Козлов В. В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде.//Прикладная математика и механика, том 59, вып. 1 1995.Kozlov, V. V., 1995. “Some integrable extensions of Jacobi’s problem of geodesics on an ellipsoid”, Prikl. Mat. Mekh., 59:1, pp. 3-–9; English transl. in J. Appl. Math. Mech., 59:1, pp. 1—7.V. I. Dragovich, Integrable perturbations of a Birkhoff billiards inside an ellipse, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 62, No. 1, pp. 159-162, 1998Dragovich, V. I., 1998. “Integrable perturbations of a Birkhoff billiards inside an ellipse”, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 62, No. 1, pp. 159–162.И. Ф. Кобцев, Эллиптический биллиард в поле потенциальных сил: классификация движений, топологический анализ, Матем. сб., 211:7 (2020), 93–120Kobtsev, I. F., 2020. “An elliptic billiard in a potential force field: classification of motions, topological analysis”, Sb. Math., 211:7, pp. 987-–1013.Пустовойтов С. Е. Топологический анализ эллиптического биллиарда в потенциальном поле четвертого порядка // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2021.Pustovoitov, S. E., 2021. “Topological Analysis of an Elliptic Billiard in a Fourth-Order Potential Field”, Moscow University Mathematics Bulletin, Vol. 76, Iss. 5, pp. 193—205.Болсинов А. В., Фоменко А. Т., Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Том I, II— Ижевск: РХД, 1999.Bolsinov, A. V., Fomenko, A. T., 2004. “Integrable Hamiltonian systems. Geometry, topology, classification”, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton.В. В. Козлов, Д. В. Трещев, Генетическое введение в динамику систем с ударами, М.: Изд-во МГУ, 1991.Kozlov, V. V., Treshchev, D. V., 1991. “Billiards: A Genetic Introduction to the Dynamics of Systems with Impacts”, American Mathematical Society. Translations of Mathematical Monographs. Vol: 89; 171 pp.Харламов М. П. Топологический анализ и булевы функции: I. Методы и приближения к классическим системам //Нелинейная динамика, 2010, том 6, №4, с.769-805.Kharlamov M.P., 2010. “Topological analysis and Boolean function: I. Methods and applications to the classical systems”, Non-lineal dynamics, 6:4, pp. 769–805.Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. - Известия АН СССР. Серия матем. 1986, т.50, No.6, с.1276-1307.Fomenko, A. T., 1987. “The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltonian systems, and obstructions of integrability”, Mathematics of the USSR-Izvestiya, Vol. 29, Iss. 3, pp. 629—658.Фоменко А.Т. "Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем". - Успехи математических наук, 1989, т.44, вып.1 (265), с.145-173.Fomenko, A. T., 1989. “The symplectic topology of completely integrable Hamiltonian systems”, Russian Mathematical Surveys, 44(1): 181.Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. - Известия АН СССР. 1990, т.54, No.3, с.546-575.Fomenko, A. T., Zieschang, H., 1990. “A topological invariant and a criterion for the equivalence of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 54:3, pp. 546-–575; Math. USSR-Izv., 36:3 (1991), pp. 567—596.Фоменко А.Т. "Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем". - Известия АН СССР. серия матем. т.55, No.4, 1991, с.747-779.Fomenko, A. T., 1992. “A bordism theory for integrable nondegenerate Hamiltonian systems with two degrees of freedom. A new topological invariant of higherdimensional integrable systems”, Math. USSR-Izv., 39:1 (1992), pp. 731-–759.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.