аспирант
Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University
доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
В прямоугольнике Ω = {(𝑥, 𝑡) | 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < 𝑇} рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения
$$\varepsilon^2\left(a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial u}{\partial t}\right)=F(u,x,t,\varepsilon), \quad (x,t)\in \Omega,$$$$u(x,0,\varepsilon)=\varphi(x), \quad 0\le x\le 1,$$$$u(0,t,\varepsilon)=\psi_1(t), \quad u(1,t,\varepsilon)=\psi_2(t), \quad 0\le t\le T.$$
Исследования проводятся в предположении, что в угловых точках (𝑘, 0) прямоугольника Ω, где 𝑘 = 0 или 1, функция 𝐹(𝑢) = 𝐹(𝑢, 𝑘, 0, 0) является кубической и имеет вид
$$F(u)=(u-\alpha(k))(u-\beta(k))(u-\bar u_0(k)), \quad\mbox{где}\quad \alpha(k)\leq\beta(k)<\bar u_0(k).$$
Используется нелинейный метод угловых пограничных функций, который сочетает в себе (линейный) метод угловых пограничных функций, метод верхних и нижних решений (барьеров) и метод дифференциальных неравенств. При условии 𝜙(𝑘) > ¯𝑢_0(𝑘) строится полное асимптотическое разложение решения при 𝜀 → 0 и обосновывается его равномерность в замкнутом прямоугольнике.Ранее были рассмотрены следующие случаи кубических нелинейностей:
$$F(u)=u^3-\bar u^3_0, \quad\mbox{где}\quad \bar u_0=\bar u_0(k)>0,$$в предположении, что граничное значение $\varphi( k)>\bar u_0(k)$, а также случай$$F(u)=u^3-\bar u^3_0, \quad\mbox{где}\quad \bar u_0=\bar u_0(k)< 0,$$в предположении, что граничное значение $\varphi(k)$ заключено в промежутке$$\bar u_0<\varphi(k)<\frac{\bar u_0}{2}< 0.$$
In the rectangle Ω = {(𝑥, 𝑡) | 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < 𝑇} we consider an initial-boundary value problem for a singularly perturbed parabolic equation
$$\varepsilon^2\left(a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial u}{\partial t}\right)=F(u,x,t,\varepsilon), \quad (x,t)\in \Omega,$$$$u(x,0,\varepsilon)=\varphi(x), \quad 0\le x\le 1,$$$$u(0,t,\varepsilon)=\psi_1(t), \quad u(1,t,\varepsilon)=\psi_2(t), \quad 0\le t\le T.$$
Research is carried out under the assumption that at the corner points (𝑘, 0) of the rectangle Ω, where 𝑘 = 0 or 1, the function 𝐹(𝑢) = 𝐹(𝑢, 𝑘, 0, 0) is cubic and has the form
$$F(u)=(u-\alpha(k))(u-\beta(k))(u-\bar u_0(k)), \quad\mbox{где}\quad \alpha(k)\leq\beta(k)<\bar u_0(k).$$
The nonlinear method of angular boundary functions is used, which combines the (linear) method of angular boundary functions, the method of upper and lower solutions (barriers), and the method of differential inequalities. Under the condition 𝜙(𝑘) > ¯𝑢0(𝑘), a complete asymptotic expansion of the solution for 𝜀 → 0 is constructed and its uniformity in a closed rectangle is substantiated.Previously, the following cases of cubic nonlinearities were considered:
$$F(u)=u^3-\bar u^3_0, \quad\mbox{where}\quad \bar u_0=\bar u_0(k)>0,$$
under the assumption that the boundary value 𝜙(𝑘) > ¯𝑢0(𝑘), as well as the case
$$F(u)=u^3-\bar u^3_0, \quad\mbox{where}\quad \bar u_0=\bar u_0(k)< 0,$$
under the assumption that the boundary value 𝜙(𝑘) is contained in the interval
$$\bar u_0<\varphi(k)<\frac{\bar u_0}{2}< 0.$$
The authors declare that there are no conflicts of interest present.