кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
кандидат педагогических наук
candidate of pedagogical sciences
Оценивание качества приближения иррационального или трансцендентного числа рациональными дробями является одним из направлений теории диофантовых приближений.Количественная характеристика такого приближения называется мерой иррациональности числа. С конца 19 века учёными разрабатывались методы оценки меры иррациональности и были получены её значения для огромного количества иррациональных и трансцендентных чисел. Наиболее часто используемый метод получения таких оценок – построение линейных форм с целыми коэффициентами, приближающих данную величину и исследование их асимптотического поведения. Приближающие линейные формы конструируется на основе цепных дробей, аппроксимаций Паде, бесконечных рядов, вещественных и комплексных интегралов. Способы исследования асимптотики таких форм в настоящее время достаточно стандартны, но построение линейной формы, обладающей хорошими приближающими свойствами, и есть главная задача.Первые оценки значений функции arctan 𝑥 были получены М.Хуттнером (1987) на основе интегрального представления гипергеометрической функции Гаусса. В 1993 г.А.Хеймонен, Т.Матала-Ахо, К. Ваананен, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел, а позже с помощью приближающейконструкции, использующей полиномы Якоби, получили новые оценки, в частности длязначений функции arctan 𝑥. В дальнейшем на основе различных интегралов строились какобщие методы оценивания значений arctan 𝑥, так и специализированные методы для конкретных значений. В работах Е.Б.Томашевской, получившей в 2008 общую оценку для значений arctan 1𝑛, 𝑛 ∈ N, был использован комплексный интеграл, имеющий симметричную подынтегральную функцию. Свойство симметричности сыграло важную роль при получении оценки, поскольку оно улучшало асимптотические свойства коэффициентов линейной формы. Некоторые интегральные конструкции, использование другими исследователями, также обладали симметричностью разных типов. В данной статье рассмотрены некоторые методы оценивания значений функции arctan 𝑥, их особенности, способ исследования, и указаны наилучшие на настоящее время оценки.
For any irrational or transcendental number estimating of the quality of its approximation by rational fractions is one of the directions in the theory of Diophantine approximations. The quantitative characteristic of such approximation is called the measure (extent) of irrationality of the number. For almost a century and a half, scientists have developed various methods for evaluating the measure of irrationality and have obtained its values for a huge numberof irrational and transcendental numbers. Various approaches have been used to obtain the estimates and these approaches improved over time, leading to better estimates. The most commonly used method for obtaining such estimates is construction of linear forms with integer coefficients, which approximate a value, and studying of its asymptotic behavior. Approximating linear forms usually are constructed on the basis of continued fractions, Pad´e approximants,infinite series, and integrals. Methods for studying the asymptotics of such forms are currently quite standard, but the main problem is invention of a linear form with good approximating properties. The first estimates of the values of the arctangent function were obtained by M. Huttner in 1987 on the base of integral representation of the Gausss function. In 1993 A. Heimonen, T. Matala-Aho, K. Vaananen, using, like M. Huttner, Pad´e approximants for the Gaussianhypergeometric function, proved a general theorem for estimating of measures of irrationality of logarithms of rational numbers. Later, the same authors, using an approximating construction with Jacobi polynomials, obtained new estimates, in particular for the values of the function arctan 𝑥. Further research used various integral constructions, which allowed to get both general methods for arctan 𝑥 values and specialized methods for specific values. In the articles of E.B. Tomashevskaya, who in 2008 received a general estimate for the values of arctan 1/𝑛, 𝑛 ∈ N, was used a complex integral with the property of symmetry of integrand. This property played animportant role in obtaining the estimates, since it improved the asymptotic behavior of the coefficients of the linear form. Some integral constructions elaborated by other researchers alsohad different types of symmetry. In this article, we consider the main methods for estimating the values of the arctangent function, their features, research methods, and the best estimates at the moment.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.